循環小数→分数を暗算

質問

昔「どんな循環小数でも一発で分数にする」方法を編み出していたのですが…。

12.34{567}
↓
{}節が三桁だから、分母は三桁の999。
分子は小数点を無視した1234567から循環節以前の1234を引いた1234567-1234=1233333、循環節の手前の「4」の桁に当たる2桁数分小数点をずらして、12333.33
↓
12333.33/999
=1233333/99900
=137037/11100

例)
0.{3}→(3)/9=1/3
3.{3}→(33-3)/9=10/3
56.7{8901}→(5678901-567)/99990
54.321{09876}→(5432109876-54321)/99999000

「何故」この方法で良いのか、長年の間に渡り証明、理由付けができずにいます。
アプローチするための、循環小数の一般的な表現など、ヒントだけでもありませんでしょうか？

＃通常の1000Xとかして差を取る解法がヒントだとは思うのですが…。

回答No.2

he-goshite- · ベストアンサー

No.1回答がまさに，級数（の和）の計算方法になっているではありませんか。

循環部分がｎ桁あれば，その部分は，
公比＝１/10^n の等比級数
になっています。
級数の和＝初項÷（公比－１）
それ以前の循環しない部分は，あとから（通分して）加えればよいでしょう。

お礼

時間を空けて再挑戦してみたら、すっきりと証明っぽくなりました。
やはり級数の和が大きなヒントになりました。
ありがとうございました。

補足

> 公比＝１/10^n の等比級数
> になっています。

なるほど。なんとかΣで書けそうです。

> 級数の和＝初項÷（公比－１）

こんな公式もすっかり忘れておりました。
落ち着いて紙と鉛筆で考えてみます。

回答No.1

arukamun

最近循環集数の質問が多いですね。

X = 12.34{567}　・・・(1)

循環節が３桁なので、10^3 = 1000から、(1)式を1000倍します。

1000X = 12345.67{567}　・・・(2)

(2)式 - (1)式
で循環節を相殺します。

1000X = 12345.67{567}
-　　X = 　　12.34{567}
────────────
999X = 12333.33
両辺を999で割って
X = 12333.33/999
　= 1233333/99900
　= 137037/11100
となるのです。

なぜ循環節が３桁だか分母が９９９になる理由とかがわかると思います。

補足

これを一般化する手順がわからないんですよね。

分母が999の倍数になるのも両辺を1000倍して元の式を引く1000-1から分かりますし、
分子に1233333が出てくるのも、12345.67-12.34の計算から分かります。
ただ、これは計算結果が(たまたま)そうなっているからであって、一般的には？と考えると、どうアプローチして良いのか見当が付きません。

X = a…a.b…b{c…c}
のように置くと、
両辺を10^(cの桁数=C)倍して、
X*(10^C) = a…a.b…b{c…c}*(10^C)
　　　　　= a…a.b…bc…c*(10^C) + 0.0…0{c…c}？？

循環部を分けて考えるか？
いっそ級数として扱うか？

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> 最近循環集数の質問が多いですね。

別の質問を見ていてふと思い出しました。