Vector operator について

質問

Vector operator について知りたいのですが。
そもそもVector operator が何なのかがいまいち理解できていません。
教科書にも詳しく書かれていませんし、他の量子力学の本を見てみたのですが、それでもいまいち理解できませんでした。
2,3次元において、ベクトルで表されるoperator(momentum など) は全てvector operatorなのでしょうか？

例えば、xp(y)V(x) → xp(y)V(y) このような変換は可能ですか？
Rotation operator を使えばいいのかとも思ったのですが、R*V(x)R →V(x) で結局何も変わらないですよね。

また、passive transformation において、

U*[R]V(i)U[R]=R(ij)V(j)

となる事は本で読んだのですが、このpassive transformation も理解できていない有様で。
これは結局、ｚ軸について回転させると言う事なのでしょうか？

長々と書いてしまいましたが、よろしくお願いします。

回答No.2

KENZOU

＞そもそもVector operator が何なのかがいまいち理解できていません。

ベクトル演算子のイメージを捉えるために3次元空間を考えましょう。ｘ、ｙ、ｚ方向の単位ベクトルをそれぞれｉ，ｊ，ｋとします。ｘ方向の微分演算子を∂/∂x、同様にｙ、ｚ方向の微分演算子を∂/∂ｙ、∂/∂ｚとすると、これを成分にもつ微分演算子を∇とかけば、
　∇=i(∂/∂x)＋j(∂/∂ｙ)＋ｋ(∂/∂ｚ)
となります。こればナブラと呼ばれるベクトル演算子です（←参考URL参照）。
量子力学での運動量演算子は従ってベクトル演算子ですね。これをｐとすると
　ｐ=(-ih/2π)∇
と書かれます(←-ih/2πのiは虚数のiであることに注意）。
まだイメージが掴めなければ何が分からないのかを明確にして再度質問してください。

参考URL：

http://www12.plala.or.jp/ksp/formula/mathFormula/html/node68.html

お礼

回答ありがとうございました。
なんとか理解する事ができました。
問題も無事に解けました。

ありがとうございました。

回答No.1

masudaya

まずは,日本語の本で勉強したほうがいいのでは？
(言葉で混乱されるのであれば・・・それでなくても,量子力学は難しいですよ.)
ベクトル解析に分野では,微分にまつわるもののようです.
添付URLはWikipediaの解説です.ナブラなどのことに見えます.
ただ,量子力学ででてくるのでそのままではないですが
運動量演算子や角運動量演算子などはベクトル演算子でしょう.ハミルトニアンとかもそうかもしれません
確か,高橋康先生の「物理数学ノート」か「量子場を学ぶための解析力学入門」(量子力学ではなく量子場です)のどちらかにはその辺の話(何がベクトルでスカラか)が出ていたと思います.

蛇足ですが,Operatorかどうかは,定義の問題という考え方もありえますね.ベクトル演算子(数学では作用素というようです)なので,ベクトルに作用する演算子とか,演算子がベクトルを指定すると決まるとか.

参考URL：

http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_operator

お礼

ありがとうございました。
何とか理解できました。
angular momentum と vector operator の commutator の証明問題だったのです。
rotation operator を applyした時、変化なしだと思ってしまった事が間違いでした。

英語交じりで分かりずらかったと思います。すみません。
回答、ありがとうございました。