単振動の力学的エネルギー保存

質問

つりあいの位置を基準にすると、重力による位置エネルギーを無視しすることができる理由がわからなかったので
http://okwave.jp/qa631820.htmlを参考に図や式を書いて自分なりに考えて見ましたが
回答が微分を使っていて結局わかりませんでした
微分を使わずにもう少し低いレベルから理由を説明するとどんな風になるのでしょうか？

回答No.5

yagoro · ベストアンサー

力学的エネルギー保存則（自然長の位置が原点）
mv^2/2+kx^2/2+mgx=一定
を眺めると困ったことにxが1箇所に集まってません。
ということで平方完成をしてみましょう。
それで得られる式は
mv^2/2 + k(x+α)^2/2-(mg)^2/(2k)=一定・・・(☆)
の形になります。ここで
y=x+α・・・(*)
とすれば
mv^2/2 + ky^2/2-(mg)^2/(2k)=一定
となります。第3項は定数なので
mv^2/2 + ky^2/2=一定
とできます。

さらに静止時の力のつりあいより
(*)がつりあいの位置を原点とした座標に変換していることがわかります。

もどって(☆)を3分くらい見つめてみましょう。
第2項と第3項の和は、上下に動くことによる位置エネルギー＋定数となっていますが、
もともとは弾性エネルギー＋重力による位置エネルギーとなっていたはずです（最初の式）。
だけど変数1箇所で考えることができる前者のほうが便利なはずです。
だからわざわざ、つりあいの位置を原点とした座標をもってくる訳です。
そのとき上下運動による位置エネルギーが弾性エネルギーに似てるから
重力を無視しているかのように見えたのでしょう。

正確に言えば、つりあいの位置を中心とすれば
復元力がつりあいの位置からの距離に云々（#3最後の段落）。

なお(*)のように変数変換してもエネルギー保存則が成り立つのは
dy/dt=d(x+α)/dt=dx/dt+dα/dt=dx/dt
だからです。
どこから観測しても速度は同じ、というふうに考えていいでしょう。

お礼

お礼の欄に失礼します。
訂正させてください。
>ここでつりあいの式よりmg = k(L + x)
>mg/k = L + x となるのですがこの値を代入すると
>(*)はk/2(2x + L)^2 + mv^2/2 - (mg)^2/2k
>となってしまい 2x + L は釣り合いの位置からの距離ではないので>はないかと思いました。
>なにが違っているのかご教授いただけないでしょうか？
とありますが

ここでつりあいの式よりmg = kx
mg/k = x となるのですがこの値を代入すると
(*)はk/2(2x)^2 + mv^2/2 - (mg)^2/2k
となってしまい 2x は釣り合いの位置からの距離ではないのではないかと思いました。

の間違いです。

>mv^2/2 + kx^2/2 + mgx
はmv^2/2 + kx^2/2 - mgx　です。

すると
k/2(x - mg/k)^2 + mv^2/2 - (mg)^2/2k = 一定
となりx - mg/k　がつりあいの位置からの距離なのでこれをXと置くと全て上手く行きました。

補足

回答ありがとうございます。
ほとんど解決したのですが、あと一つだけわからないことがあります。
>mv^2/2 + k(x+α)^2/2-(mg)^2/(2k)=一定・・・(☆)
>の形になります。ここで
>y=x+α・・・(*)

とありますがαが気になったので実際に以下のように考えてみました。

バネの自然長をL バネ定数をk　自然長からつりあいの位置までをx
とします。
すると
mv^2/2 + kx^2/2 + mgx
平方完成して
=k/2(x + mg/k)^2 + mv^2/2 - (mg)^2/2k ・・・(*)
となりました。
ここでつりあいの式よりmg = k(L + x)
mg/k = L + x となるのですがこの値を代入すると
(*)はk/2(2x + L)^2 + mv^2/2 - (mg)^2/2k
となってしまい 2x + L は釣り合いの位置からの距離ではないのではないかと思いました。
なにが違っているのかご教授いただけないでしょうか？

回答No.6

sanori

＞＞＞
>位置エネルギーは、高さｘ0 の位置エネルギーｍｇｘ0　＋　その上下に動いたときの位置エネルギー　として考えることができます。
その上下に動いたときの位置エネルギーはどこに行ってしまったのでしょうか？

ｘ0 の地点をゼロとした高さをｙと書けば、ｍｇｙ　ですよ。

お礼

おかげさまで問題は解決しましたので締め切らせていただこうと思います。
質問の説明が足りないなど数多くの不備がありながらも丁寧な回答を書き込んでくださりとてもわかりやすかったです。

ありがとうございました。

回答No.4

jkallnight

こう考えるとどうでしょうか、まずは普通にばねの自然長からの変位をｘ、ばね定数をｋ、位置エネルギーの基準をばねの自然長の位置にとります。このとき全エネルギーEは
k*x^2/2+m*v^2/2-m*g*x=E=一定です。・・・(1)
このときつりあいの位置はm*g=k*xより
x=m*g/kになっています。そこでつりあいの位置を変位の基準にするた
めにy=x-m*g/kとおけばyはつりあいの位置からの変位になります。
移項してx=y+m*gを(1)に代入して整理すると
k*ｙ^2/2+m*v^2/2-(m*g)^2/2*k=E移項して
k*ｙ^2/2+m*v^2/2=E+(m*g)^2/2*k
ここであらたにE+(m*g)^2/2*k＝Ｕとおくと
k*ｙ^2/2+m*v^2/2=Ｕ=一定・・・(2)
終わり
(1)と(2)は一定は一定でも値は違います

補足

参考書の公式を見る限り重力の影響は消えたと思ったのですが

>ここであらたにE+(m*g)^2/2*k＝Ｕとおくと

の(m*g)^2/2*k　に残されているが定数のみで構成されている項なのでそれを含めて一定としている
という解釈で問題ありませんか？

回答No.3

BookerL

ばね定数をｋ、ばねについているおもりの質量をｍ、重力加速度をｇとします。また、単振動の振幅をＡとします。

ばねの自然長を基準にするとき
つりあいの位置をｘ0 とすると、ｋｘ0＝ｍｇ　……(1)

振動はつりあいの位置を中心として振幅Ａになるので、

最下点での力学的エネルギー
＝重力による位置エネルギー＋弾性力による位置エネルギー＋運動エネルギー
＝－ｍｇ(ｘ0＋Ａ)＋(1/2)ｋ(ｘ0＋Ａ)^2＋０
＝－ｍｇｘ0 － ｍｇＡ ＋ (1/2)ｋｘ0^2 ＋ｋｘ0Ａ ＋ (1/2)ｋＡ^2
　ここで(1)を使って
＝－ｋｘ0^2 － ｋｘ0Ａ ＋ (1/2)ｋｘ0^2 ＋ｋｘ0Ａ ＋ (1/2)ｋＡ^2
＝－(1/2)ｋｘ0^2 ＋ (1/2)ｋＡ^2　……(2)

つりあいの位置を通過するときの力学的エネルギー
＝重力による位置エネルギー＋弾性力による位置エネルギー＋運動エネルギー
＝－ｍｇｘ0 ＋ (1/2)ｋｘ0^2 ＋ (1/2)ｍｖ^2
　ここで(1)を使って
＝－ｋｘ0^2 ＋ (1/2)ｋｘ0^2 ＋ (1/2)ｍｖ^2
＝－(1/2)ｋｘ0^2 ＋ (1/2)ｍｖ^2　……(3)

(2)と(3)で力学的エネルギーが保存しているので、
－(1/2)ｋｘ0^2 ＋ (1/2)ｋＡ^2 ＝ －(1/2)ｋｘ0^2 ＋ (1/2)ｍｖ^2
つまり、 (1/2)ｋＡ^2 ＝ (1/2)ｍｖ^2　……(4)

　この最後の (4) の式は、水平ばね振り子の力学的エネルギー保存の式とおなじで、このことを「重力による位置エネルギーを無視しすることができる」といっているのだと思います。

　実際には #1 の回答にあるように

＞どこを基準にしようと、重力による位置エネルギーを無視できるはずがない

のですが、最後の式に重力による位置エネルギーが一見すると現れていません。
　このわけは、(1/2)ｋＡ^2 の項が、弾性力による位置エネルギーではない、というところにあります。振幅 Ａ がばねの自然長からの伸びではなく、自然長から重力によって伸びるつりあいの位置 ｘ0(＝ｍｇ/ｋ) からの伸びなので、(1/2)ｋＡ^2 の中に、弾性力による位置エネルギーと重力による位置エネルギーの両方の効果が含まれていることになります。

　別の言い方をすると、ばねにつるされたおもりは、つりあいの位置からの距離に比例した復元力を受けます。(比例定数が ｋ )
　この復元力による位置エネルギーが (1/2)ｋＡ^2 です。そして、復元力は、ばねの力と重力の合力なので、この位置エネルギーにはばねの力と重力の両方によるものである、といってもいいと思います。

お礼

ありがとうございます。
振幅を考慮して2つの地点で考えるのは思いつかなかったです。

回答No.2

sanori

こんばんは。

微積分を使わずに、ということですか。

ばねの伸びをｘ、ばね定数をｋ、復元力をＦと置けば、
Ｆ　＝　－ｋｘ　　・・・（あ）
です。

質量ｍのおもりを静かにぶら下げることにより重力ｍｇがかかって、つり合ったときの伸びをｘ0と置けば、
ｍｇ　＝　－ｋｘ0　　・・・（い）
です。

（あ）－（い）より、
Ｆ－ｍｇ　＝　－ｋ（ｘ－ｘ0）

この式の意味するところは、
つり合いの位置ｘ＝ｘ0 を基準にすれば、位置ｘ－ｘ0と、おもりにかかる力Ｆ－ｍｇとの間に比例関係が成り立つということです。

つまり、
伸びがｘ0 の場所を中心に単振動するということです。

位置エネルギーは、高さｘ0 の位置エネルギーｍｇｘ0　＋　その上下に動いたときの位置エネルギー　として考えることができます。

補足

>位置エネルギーは、高さｘ0 の位置エネルギーｍｇｘ0　＋　その上下に動いたときの位置エネルギー　として考えることができます。

その上下に動いたときの位置エネルギーはどこに行ってしまったのでしょうか？

回答No.1

tono-todo

質問は正しい？

単振動が上下方向なら、どこを基準にしようと、重力による位置エネルギーを無視できるはずがない。
何か混同してませんか？又は、言葉足らず。

補足

参考書には
xをバネの自然長からの距離とすると
mv^2/2 + mgh + kx^2/2 = 一定

xを振動の中心からの距離とすると
mv^2/2 + kx^2/2 = 一定
とあります。

基準を変える事でmghがなくなっている理由がわかりません。