複素数について

質問

w(γ)=γ+m/γ　(ｍは定数)
のときこれの共役な複素数は
_
W(γ)=1/γ+mγ
になると教科書には書いてあるのですが、
理屈の方がついていかないです。

誰か説明していただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.6

kumipapa · ベストアンサー

＞　Re〔γ^2*e^(2iθ) + m-2 / γ^2*e^(2iθ) - m ]
＞　なんですがこれも地道にやれば解けるでしょうか？
えっとですね、#1,4,5 さんがおっしゃるとおりで、まずは、自分で手を動かしてみたらどうでしょうか？この問題の計算も数行で終ります。地道も何も、複素数の計算は、こりゃあくまでも計算なので、いつでもどこでも普通に計算するだけです。

まず式ですが、
Re[（ γ^2*e^(2iθ) + m-2 ）/ （ γ^2*e^(2iθ) - m ) ]
ですね。式は括弧をつかって正確に伝えて頂けると助かります。
ここで、e^(2iθ) = cos2θ + i sin2θ を代入して計算するようなことは普通はしないでしょう。e^(2iθ) の共役複素数が e^(-2iθ) であり、e^(2iθ) e^(-2iθ) = 1 であること、e^(2iθ) + e^(-2iθ) = 2cos2θ, e^(2iθ) - e^(-2iθ) = 2i sin2θ であることを利用して計算。
この問題の場合、γ^2*e^(2iθ) - m の共役な複素数は γ^2*e^(-2iθ) - m であることから、
（ γ^2*e^(2iθ) + m-2 ）/ （ γ^2*e^(2iθ) - m )
の分母と分子両方に γ^2*e^(-2iθ) - m をかけて分母を実数にしてやってそのまま計算すれば、
Re[( γ^2*e^(2iθ) + m-2 ）/ （ γ^2*e^(2iθ) - m )]
　＝ ( γ^4 - 2 γ^2 cos2θ -m (m-2) ) / ( γ^4 - 2 m γ^2 cos2θ　+　m^2)
は導けます。式は長ったらしいけど、何も難しい変換は必要なく、数行で終る計算ですから、是非、ご自分で計算してみてください。

計算が合わないようなら、計算過程を補足欄へどうぞ。

お礼

仰られたとおりに計算すれば、求めたかった形に変形できました。
ありがとうございます。
e^(2iθ) + e^(-2iθ) = 2cos2θ
e^(2iθ) - e^(-2iθ) = 2i sin2θ
e^(2iθ) e^(-2iθ) = 1
を使うって考え方を知らなかったので、それを使えば
#6さんがおっしゃられた通りにすんなり求める形にできました。
ありがとうございました。

回答No.5

info22

#1、#4です。回答者にはそれぞれの回答に対して補足をして下さい。回答者は自分の回答に対する補足質問するのが建前です。他の回答者の補足は、質問者さんがどこまで取り組んでいるか、どこまで分かっているかの参考にするだけです。まとめて、一箇所に補足するだけでは不十分です。回答者ごとに、それぞれの回答に応えて補足をして下さい。ある回答者の補足に書かれた補足質問が原則その回答者への補足であって他の回答者は回答しない方が普通です。一人の回答の補足質問が全ての回答者へのまとめての質問では回答者に失礼にあたります。注意して下さい。

A#3の補足質問が本来、独立した質問として質問しなおすのが筋です。
質問事態がはっきりしません。

解くとは何をする事でしょうか？
方程式でも解くのですか。あいまいな質問はしてはだめです。
単にRe{ }の計算するする事だけですか？
そうならそう書くべきです。
Re(Z)なら、
Re(Z)=(Z + Z＾*)/2
の計算をするだけです。
理解ができなければ、具体的なγを与えて計算してみてください。

質問する場合は、ます質問者が解答を書いて、分からない箇所だけ質問するようにして下さい。

お礼

本当に失礼なことばかりして申し訳ないです。今回教えて頂いた質問のマナーや、ルールは今後守りますので今回は申し訳ありませんがご容赦ください。

解くとは何をする事でしょうか？
>計算することなんですが、Reってものを検索してみたんですが
Realってことくらいしか調べられなくてどんな手順を踏めば計算
できるのかわからないです。

Re(Z)=(Z + Z＾*)/2のZ＾*の部分ですがすみませんがわかりません。
ここの*は伏字ってことですか？

補足

すみませんZ＾*)は共役な複素数なんですよね。
調べたら出てきました。簡単な数字でやってみました。
Re(1+2i)=[(1+2i)+(1-2i)]/2=1
でいいんですよね。

(書き忘れていました。ｍは実数です。)

Re〔(γ^2*e^(2iθ) + m-2) / (γ^2*e^(2iθ) - m) ]
は代入で解けるのでしょうか？試してみたのですが、
方針がわかんなくなりました。

回答No.4

info22

#1です。
僕が言った通り教科書の式は
|γ|＝1(あるいは|γ|^2＝1)
という条件無しでは成立しませんよ。
#3さんも同じことを言っておられます。

#2さんの方法で計算していっても、質問の式は成立しません。
にもかかわらず
質問者さんは、A#2の補足で
> #2さんのおっしゃったとおりに解けば、一応成り立つことは、
> 確認できました。ありがとうございます。
と書かれています。
本当にチャンと計算して見えるなら成り立たないことが分かるはずです。
なぜ成り立たないか、については#3さんが回答されている通りですし、
僕が書いたγの具体的な例で計算してみても分かるはずです。
僕の提示した具体的なγに対して実際に計算して見ましたか？

それも計算しないで、教科書の式が無条件で成立すると思い込んでおられるようです。
成り立たない式をどうして成り立つ事を確認したと言われるか、
分かりません。多分まともに計算しておられないと推察します。

#3さんの回答の補足で追加質問されましたが、最初の質問もいい加減にされ正しい理解をされていない状況では、追加質問をしてもまともな回答をしたとしても、あなたの理解の範囲を超えるでしょう。
もっと、複素数の基礎から、復習しなおされることを強くお勧めします。

お礼

#1さん、続けての回答ありがとうございます。
自分が始めてみたときには、すでに#3さんまで回答していただいていたので、(回答の時間を見ていただければ確認できるようですが)#3さん、#2さん、＃１さんの順に参考にさせて頂きました。この問題は、もともと単位円を写像するときにでてきたので、|r|=1は確実のようです。ですから#3さんの回答で納得してしまったので、#2さんの回答は流し読みしていました。申し訳ありません。本当に何度も何度もすみませんが、#3さんのお礼に書かせていただいた質問についての参考になるホームページでもなんでもよいので教えていただければ幸いです。よろしくお願いします。

回答No.3

kumipapa

#1 さんの言われるとおりで、眺めていて分からなければ手を動かしてみることが大切だと思います。具体的な数値で試してみるってことです。すると、|γ|^2 = 1 という条件がなければ駄目だということも分かるでしょう。また、|γ| = 1 ならば、γ と 1/γ が共役な関係になることも分かるでしょう。この γ と 1/γ の関係が肝要なことなのだと思います。
当然ですが、γ = x + iy とおいて計算しても、 γ + m/γ と 1/γ + mγ が共役になることは示せるはずはありません。

複素数 z と共役な複素数を z* と書くことにします。
z (z*) = |z|^2
は OK ですか？これより、|z|≠0 ならば
z* = |z|^2 (1/z)　　・・・　（１）
(1/z) = z* /|z|^2　　・・・　（２）
が成り立ちます。また、z1, z2 を複素数とし、α, βを実数とすると、α z1 + β z2　と共役な複素数 (α z1 + β z2)* は
(α z1 + β z2)* = α z1* + β z2*　・・・　（３）
です。当たり前のような話ですが、２つの複素数の和の共役複素数は、それぞれの共役複素数の和。
これらのことは、それこそ、z = x + iy, z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 とでもおいて、ご自分で確認してみてください。

さて、（１）、（２）、（３）を使って、γ + m / γ　と共役な複素数 (γ + m / γ)* を考えてみましょう。

（γ + m / γ)* = (γ + m γ* / |γ|^2)*
　　　　　　= γ* + m (γ*)* / |γ|^2　　　(（γ*)* = γ　より)
　　　　　　= γ* + m γ / |γ|^2
　　　　　　= |γ|^2 (1/γ) + m γ / |γ|^2
よって、|γ|^2 = 1 のとき、
（γ + m / γ)*　= (1/γ) + m γ

さて、こんなふうにごちゃごちゃ示して、何となくでも分かりますか？
記号で遊ぶより、やはり具体的な数字で計算してみる方が実感できるかも知れませんね。

お礼

回答ありがとうございます。
#3さん、#2さんの意見を参考にして計算してみました。
教科書では、一行で書いてあったもので、なんらかの変換があると
思っていたのですが、このように地道に計算するしかないようですね。
取りあえず、ここまでは、分かったのですが、ここを地道に解くとなると、自分が結局求めたいものは、この

Re〔γ^2*e^(2iθ) + m-2 / γ^2*e^(2iθ) - m ]

なんですがこれも地道にやれば解けるでしょうか？

ちなみに回答では、
( γ^4 - 2*γ^2*cos2θ + 2m - m^2 ) / ( γ^4 - 2*m*γ^2*cos2θ　+　m^2)
になっています。

回答No.2

sanori

こんばんは。
こういう共役複素数を求める問題は、地道にやるしかない場合が多いです。

実数x,y を用いて、
γ = x + iy と置けば、

w(γ) = γ + m/γ = x + iy + m/(x + iy)
= x + iy + m(x - iy)/{ax^2 + by^2}
= x + iy + m(x - iy)/|γ|^2
= x(|γ|^2 + m)/|γ|^2 　＋　iy(|γ|^2 + m)/|γ|^2

これの共役複素数は、虚部の符号を反転したものなので、
x(|γ|^2 + m)/|γ|^2　－　iy(|γ|^2 + m)/|γ|^2
です。
これが、
_
W(γ)=1/γ+mγ
についても、γ = x + iy　として計算した結果と一致することを確認しましょう。

お礼

回答ありがとうございます。
#2さんのおっしゃったとおりに解けば、一応成り立つことは、
確認できました。ありがとうございます。
一応題目では、解き方を教えてでしたが、
自分が考えてた以上に複雑であったので
質問を続けさせていただきます。
申し訳ありません。

回答No.1

info22

|γ|=1という条件がついていませんか？

＞理屈がついていかないなら
所詮、複素文字変数で扱う限りどんな説明をしてもあなたには理解できませんし、理解させる説明ができません。
分からない時は
一般論の文字で考えるのではなく、具体的な複素定数で考えて見てください。
例えば
γ=1+i2
で成り立つか確認してみてください

次に|γ|=1である
γ=(1+i)/√2
や
γ=(3+4i)/5
で確認して見てください。

そうすれば理解できるようになるでしょう。

補足

回答ありがとうございます。
複素定数で当てはめる方法でできました。
よろしければ、#3さんのお礼に書いてある問いの
ヒントに回答してくだされば、幸いです。
よろしくお願いします。