背理法以外の証明法

質問

こんばんは

ユークリッド幾何では多くは背理法にて証明されていますが
例えば
円の直径から直角に引かれた直線は、円に接する
http://math.pisan-dub.jp/euclid/index.php?itemid=82&catid=4
これらも背理法にて証明されていますが
（たしかに説明部分を読み進めていくと、そうなるのは分かりますが・・・）

まわりくどいと感ずるのですが
なにか直接的というか、ダイレクトな証明方法ってあるのでしょうか？
（この定理に限らず）

よろしくお願いします。

回答No.1

MUTESELECT · ベストアンサー

このように、鋭角である、ほかに、接線が２つ以上存在する、√３は無理数である、
など、実態が確定しないものを証明する積極的な方法として、
背理法が生まれました。
つまり、問題を見て、明確な実態がつかめないもの(ほかにも、ありそうやん)と思えるものは、逆は少ないはずなので、それを否定する方法として、背理法を用いるので、
ユークリッド幾何を始めとする解析幾何学では、そもそも直接的に証明するのが出来ない。直接するには、場合分けが多くなりすぎる、仮定が不十分になりうる、必要十分条件を満たし得るかどうかがあやふやになる。などの理由が生じるため、直接法は無難ではないので、背理法を用いています。
つまりダイレクトな証明方法はあるはずですが、
逆に回りくどく、場合分けが多くなり、解説を読んでも、誤った背反が提唱されうるので数学的に見やすくなくなってしまいます。

お礼

詳しいご回答ありがとうございました。