量子力学の角運動量演算子について

質問

角運動量を表す演算子で　ｌ＝ｒ×ｐ　というものがありますよね？
それを使ってx(Px)-(Px)xを計算するとどうなりますか？
ｘがPxの前と後ろでどう違うのか分かりません。それとPxにｙをかけた場合はどうなるんですか？

回答No.2

atushi256 · ベストアンサー

Px=-(hbar/2m)d/dxとして、実際に計算してみればいいのではないでしょうか？

(Px)xΨ=-(hbar/2m)d/dx(xΨ)
=-(hbar/2m)Ψ+x(Px)Ψ

ゆえに
(x(Px)-(Px)x)Ψ=hbar/2mΨ

結局
x(Px)-(Px)x=hbar/2m

Pxがただの数字なのであれば、こんなことにはならないのですが、いまPxは演算子なので、この様なことになります。また、交換関係を求める時は、上でやったように、Ψを計算に含めて計算をすすめるように気をつけた方がいいと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
Pxの後ろにxが入らないと微分できないということでよいのでしょうか。(Px)にyがついた場合
(Px)yΨ=-(hbar/2m)d/dx(yΨ)
=-(hbar/2m)dy/dxΨ+・・・？
どうなりますか・・・？
y(Px)-(Px)y=　？

補足

y(Px)-(Px)y＝０ですね。

回答No.3

atushi256

微分ですから、x(d/dx)Ψを考えたとき、Ψは微分されますが、xは微分されませんよね？なぜならば、xは微分の前にあるからです。ですが、(d/dx)xΨを考えたら、事情は異なりますよね？xは微分の後ろにあるのですから。この場合、xもΨも微分されます。分配法則をつかって(d/dx)xΨ=(dx/dx)Ψ+x(dΨ/dx)となります。

(d/dx)x=1ですが、(d/dx)yはいくつでしょうか？落ち着いて考えてください。

(Px)yΨ=-(hbar/2m)d/dx(yΨ)
=-(hbar/2m)(dy/dx)Ψ-(hbar/2m)y(dΨ/dx)
=-(hbar/2m)(dy/dx)Ψ+y(Px)Ψ
ゆえに

y(Px)-(Px)y=(hbar/2m)(dy/dx)=?

この続きはわかるはずです。
ただのyをxで微分したら、なんでしょうか？
yはxの関数ではないですから・・・。

結果はすごく単純です。

回答No.1

A-Tanaka

こんばんは。

これは、量子力学ではなく、解析力学におけるベクトル積（外積）演算子だと思いますが・・・。

ちなみに、量子力学の場合には、交換演算子（ブラもしくはケット）である<φx|（・・・や・・・）|φx>が用いられます。

さて、ベクトル積について解説しておきますと、ベクトルとベクトルの演算において、スカラー量になるのが、内積です。ベクトルとベクトルの演算において、ベクトル量になるのが、外積です。

この違いは、ベクトルの量を距離で表すのが、内積。ベクトルの量をベクトルのまま表す（正確には、ベクトルとベクトルが作る平面の単位ベクトル、これはベクトル平面の垂直単位ベクトルになります。そこに距離を掛けたものがベクトル積）という違いがあります。

では。