演算子 (量子力学)

質問

演算子の計算問題で悩んでいます。

Px = (-i*h)∂/∂x, Py = (-i*h)∂/∂y, Pz = (-i*h)∂/∂z
Lx = y * Pz - z * Py
Ly = z * Px - x * Pz
Lz = x * Py - y * Px
[A,B]= AB -BA
のとき
[Lx,Ly]　= i*h*Lz
を証明せよ。ただし、[x,Px]=[y,Py]=[z,Pz]=ih,[x.Py]=0　が成立することは証明済み。

私の指針ですが
[Lx,Ly]*ψ　(ψは任意の波動関数)　
を普通に展開して…

( yPz*zPx - zPy*zPx + xPy*zPz
-zPx*yPz + zPx*zPy - xPz*zPy) * ψ

になり　ここから　計算が進みません。

どなたか分かる方がいらっしゃったらアドバイスをいただきたいです。
お願いします

回答No.2

connykelly · ベストアンサー

このサイトのココ↓をご覧ください。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa726778.html

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa726778.html

お礼

回答ありがとうございました。
大変、参考になりました。

回答No.4

hihiki

すいません，＃３です。
＞後は，Pz = (-i*h)∂/∂zを使い，[Lx,Ly]　= i*h*Lzの形にもって行きましょう。
の部分はPzではなくLzを使います。失礼しました。

回答No.3

hihiki

アドバイスをということなので，ヒントを書きますね。
（ここでのhはhbarのことです。）
まず始めに，Lx = y * Pz - z * Pyに
Py = (-i*h)∂/∂y, Pz = (-i*h)∂/∂zを代入して，
Lx を∂/∂y，∂/∂zで（偏微分演算子を用いて）書いてみましょう。
同様に，Lyも∂/∂z，∂/∂xで表します。
これを使って，
LxLyの項
LyLxの項
をそれぞれ求めてみましょう。
少々計算はややこしいですが，
後に，[Lx,Ly]＝LxLy‐LyLxでほとんどの項消えるはずです。
結局，[Lx,Ly]＝‐h^2(y*∂/∂x-x*∂/∂y)の形が出れば正解です。
後は，Pz = (-i*h)∂/∂zを使い，[Lx,Ly]　= i*h*Lzの形にもって行きましょう。
このやり方は，[x,Px]=[y,Py]=[z,Pz]=ih,[x.Py]=0を使っていないので，もしかしたらもっといい方法があるのかもしれませんが，答えは出ます。頑張ってください♪
ちなみに∂/∂z*（z*∂/∂x）の計算は気をつけてください。
∂/∂xではありませんよ。

お礼

回答ありがとうございました。
わかりやすく丁寧に回答していただき大変感謝しております。

回答No.1

Tacosan

とりあえず定義に従って yPz*zPx*ψ などを展開してみる.

お礼

回答ありがとうございました。