大小パスコンの過渡現象

質問

デバイス直近のパスコン(C2)とそのパスコンに電流を供給するコンデンサ(C1)間の過渡現象のI1(t)の算出に難航してます。

下図の負荷が引き込む、IL(t)に対して、C1,C2が流し込む
電流はなんとか想像でき、時間の推移によるC1,C2の電圧減少は
推測できたのですが、
C2の電圧減少をカバーする、C1→C2に供給するI1(t)の算出に
困ってます。
I1(t)が解りましたら、C1がどれくらいの容量が必要か
また、C1～C2の距離をどれくらいにするのが適当かが判断
できるのではないかと思い、考えているのですが、よくわからなく
困ってます。
書店で過渡現象関連の本を見て近い回路を探そうと
したのですが、算出までに至るものがなく挫折してます。
どなたか分かる方がいらっしゃいましたら教えていただけないでしょうか。
感触をつかむためになにか近似式でもありましたらそれでもありがたいです。

　　　　　　　　　　　　　　IL(t)
　　　　　　　　　　　 　　->
　┬─L3─R3──┬──■負荷変動電源端子
　　R1　--------　R2　　　｜
　　│ │　 　 ｜ ｜　　　　　｜
　　L1 │ 　　 ↓　L2　　 　 　＼　　　　＜－ある周波数で
　　│ │ 　I1(t) ｜　　　　　｜ 　　 　　 電流変動している
　　C1　　　　　　C2　　　　　RL 　
　　│　　　　　　｜　　　　　｜　
　　GND　　　　 GND　　 GND

R1、L1はC1の寄生抵抗と寄生容量
R2、L2はC2の寄生抵抗と寄生容量
L3,R3は、C1～C2間の配線のインダクタと抵抗値

回答No.2

inara1

横から失礼します。
興味があったので計算してみましたが、これは５階の線形微分方程式となり、一般解は求められません（５次方程式の一般解を求める必要があります）。ＬＣＲの値が具体的ならば、５次方程式の複素解（数値解）は計算できますので、微分方程式は解析的に解けます（ただし実数解の数によって式の形が変わるので解の式は何種類にもなり、数値解の結果から解の式を選ぶことになります）。

素子の値を変えたときには５次方程式の解も変わってしまうので、その都度、解の式を選んで波形を計算していたのでは大変です。解析解でなく、数値計算で波形を求めるか、（やってることは同ですが）回路シミュレータで波形を見る方法が良いと思います。

具体的には以下の4元連立微分方程式を解くことになります。
　　　V1 = R1*i1 + L1*dI1/dt + 1/C1*∫i1 dt
　　　V2 = R2*i2 + L2*dI2/dt + 1/C2*∫i2 dt
　　　V1 - V2 = R3*( i2 + V2/RL ) + L3*d( i2 + V2/RL )/dt
　　　E - V1 = R4*( i1 + i2 + V2/RL ) + L4*d( i1 + i2 + V2/RL )/dt
V1 はR1の上の節点電圧、V2 はR2の上の節点電圧、i1 はR1を流れる電流、i2 はR2を流れる電流です。これを V1、V2、i1、i2 について解けば、V2 が負荷の電圧波形、V2/RL が負荷電流になります。初期条件は、t = 0 でスイッチを入れるとして、スイッチを入れる前にコンデンサは完全に充電されているとすれば、i1(0) = i2(0) = 0、V1(0) = V2(0) = E となります。

式が複雑なので全部は書きませんが、この連立微分方程式から i2 に関する微分方程式は
　　　( R3 + R4 + RL )/( C1*C2*RL*R4 )*i2 + A*di2/dt + B*d^2i2/dt^2 + C*d^3i2/dt^3 + D*d^4i2/dt^4 + ( L1*L2*L3 )/( R4*RL )*d^5i2/dt^5 = 0 --- (1)
となります。簡単なLCR直列回路では2階の微分方程式になりますが、その場合でも特性方程式が２次式になるので、素子の値によっては、振動解になったり減衰解になったりします。パスコンの種類や配線が適切でない場合には式(1)の解は振動解になって、いわゆる電源が暴れるようなことなるかと思いますが、特性方程式の複素解が５個もあるのでかなり複雑な挙動になると思います（減衰しながら振動するなど）。

回答No.1

foobar

C1と電源の間のインピーダンス（L3,R3の左側に直列に入るインピーダンス）を仮定する必要があるかと思います。
でないと、回路の左に理想的な直流電源がつながると、C1は無くてもいい（L3の左がわの電圧が一定）という状況になってしまいますので。

で、その直列インピーダンスを仮定した上で、回路方程式を立てて、I1を求めることになるかと思います。

補足

深夜にご指摘ありがとうございます。
下図の様に電源EからC1までの間は
インピーダンスとしては50Ω、直流抵抗として
数Ω(R4)という大きな抵抗分があります。
又、図Bの様に
区間１は、負荷の電流引き込みは0Aとなります。
区間２は、負荷変動はある周波数fとして平均値としてAの電流が負荷に流れ
区間２に今注力しています、区間1にて
C1、C2は、Eの電圧に十分充電されているとして
区間2に入ると、接点１ではR4×Aの電圧降下が生じ、
E-(R4×A)の電圧が生じます、その為、C1,C2の電圧Eより
低くなる為、電源からC1、C2への充電はないと思っております。
C1は、
・１　接点１への放電
・２　周期ｆで電位が減少するC2へ放電
　　 が発生すると思ってます。

２に関しては、周期ｆが絡むので、交流のLCRの過渡現象
でのI1(t)になると思っていますが、正しいでしょうか。
もし正しくても式への展開が私には困難で頭を抱えてます。
２に関する過渡現象モデル化と、その解答を考えてますが
敷居が高く挫折しております。教えていただけないでしょうか。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　IL(t)
　　　　　　　　　　　　接点1　　　　　　　　　->
　┌─L4─R4──┬─L3─R3──┬──■負荷変動電源端子
　│　　　　　　　　　R1　-----------　R2 　　｜
　│　　　　　　　　　│ │　 　 　　　　｜ ｜ 　　｜
　│　　　　　　　　　L1 │ 　　　　　　 ↓ L2　　　＼　　　　＜－ある周波数ｆで
E　　　　　　　　　 　 │ │ 　　　　　I1(t) ｜　　 ｜ 　　 　　 電流変動している
　│　　　　　　　　　C1　　　　　　　　　　C2　　　RL 　
　│　　　　　　　　　│　　　　　 　　 　　｜　　　｜　
GND　　　　　　　　　GND　　 　　　 　 GND　　GND
図A

　　　　　|←　区間1　 →|←　区間2 　→|
　　　　　　　　　　　　　　┌──────　　
IL(t)───────┘ 　
　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　--->t
　　　　　↑↑↑↑↑　　　↑↑↑↑↑↑
　　　　　負荷の電流　　　周波数f電流変動し　　
　　　　　完全OFFは　　 　、平均電流値として
　　　　　IL(t)=0　　　　　　 IL(t)=A流れる。
図B