オームの法則の導出

質問

タイトルのまんまなのですが、オームの法則の導出方法を教えて下さい！
こんなのに導出方法もなにも…って思うんですが、あるらしいんです…。気になってしかたありません…。
よろしくお願いいたします★

回答No.16

oshiete_goo

＞　他の方の回答、高校の物理や大学の教養課程の試験の
回答なら、ある程度点数もらえると思うのですが、厳密
には不正解です。

他の回答者さんやひいては先人の学者たちの名誉のために申し述べると，これをおっしゃるならば，完全なる統一理論（万物の理論）ができるまでは，全ての理論は（仮定に基づく数学的議論としての存在意義は別としても，）自然科学の理論としては原理的には「不完全」なのでしょうから，ご主張をそのままお返しすると現在の量子力学（重力が入っていない）に基づく＃１５の議論も原理的には勿論不完全で「不正解」です．

では，これまでの議論が無意味かといえば，原始的アイデアからかなり精度の高い理論までいろいろありますが，それぞれに教育的あるいは実用的存在意義はあると思います．

回答No.15

apple-man

この質問、質問したご本人はもう質問したこと忘れてるかも
しれませんね。でも非常に面白い質問だし、後から同じような
こと知りたくなる方がきっといると思うんで、勝手に答えて
おきます。

　他の方の回答、高校の物理や大学の教養課程の試験の
回答なら、ある程度点数もらえると思うのですが、厳密
には不正解です。

　電子の運動が量子力学の発達によって初めてより正確に
理解できるようになったことから分かるように、オームの
法則も量子力学の基本式から導かれている必要があります。
熱力学や電磁気学のような古典力学からは近似式が出る
だけです。オームの法則自体、温度条件と材料の条件を
限定した近似式ですから、古典力学から導いても室温の
金属と限定すれば似たような式が出てきます。

＞オームの法則の導出方法を教えて下さい！
電気伝導のモデルを量子力学で解く（＊厳密解）
→室温の金属と条件を限定する
→オームの法則が出てくる。

＊厳密解の持つ特徴
　電流が流れると格子振動が大きくなるため温度が上がります。
温度が上がると電気抵抗が大きくなり電流が減ります。
このオームの法則の厳密解には
１）格子振動の持つエネルギーと温度の変数が最低限含まれて
　いなければなりません。

　ということで、そもそも温度の変数が含まれていない
式はおかしいし、温度の変化に対して、単純に比例
反比例する形になっている式もおかしいのです。
つまりそれでは超電導現象を無視している。
２）温度を下げて行ったとき、電流が無限大の答えが出る
　式の形になっている必要があります。

回答No.14

d9win

No12の回答者ですが、大きな間違いがありましたので、加筆します。
「電子は熱運動速度でランダムに動いている」のは、半導体に当てはまる話でした(正孔も同じように運動しています)。
金属の電子は、それよりも(室温で比べて)10倍程度速い速度(フェルミ速度)で、やはりランダムに動いています。フェルミ速度というと難しげに聞こえますが、(金属)原子の最外殻電子の周回速度と同じです。
ドリフト移動度を示す(1式)は、金属でも同じです。
μ=q・τ/m* 　 (1式)
金属のμは数十cm2/Vs程度で、半導体が数百~千cm2/Vs程度であるのに比べて一桁程度小さいです。どちらの場合も、有効質量(m*)は真空中の電子と同じ程度ですので、この差は運動量緩和時間(τ)の違いで主としてもたらされます。このτの比が、各々のランダム運動速度の比と似てますね。
金属では、τは約100ヶの原子分の距離を走る時間であることが知られてます。半導体でも同じ原理が働いていると云うことでしょうね(may be)。
そもそも、金属と半導体の中で電子のランダム運動機構が異なっているということが不思議な話です。この点について明快な説明がなされている文献を見つけることが難しい(私には出来なかった)ことが、またまた不思議です。

回答No.13

d9win

先の回答のなかで、No9回答とかきましたが、
No7回答の間違いでした。

回答No.12

d9win

電界強度が弱いうちは、電子は熱運動速度でランダムに動いています。電界(E)が加わると、全部の電子は逆方向に力(q・E)を受けて、平均すると電界方向に-μ・Eの速度成分が現れます。このv=μ・Eをドリフト速度と呼び、μはドリフト移動度と呼ばれ、次の式で表されます。(qは電荷素量)
μ= q・τ/m* 　　(1式)
この右辺の運動量緩和時間(τ)と有効質量(m*)は、(温度依存性はあるが)それぞれの物質に固有の数値なのでドリフト移動度(μ)も定数とみなせます。
抵抗値(R=V/I)も断面積(A)と長さ(x)が定まれば定数となります。
R= V/(J・A)= (E・x)/[(q・n・v)・A]=x/(q・n・μ・A)

このオームの法則が成立する鍵は、電子全体の平均した運動速度(v)が電界強度(E)に比例している(v=μ・E)ことです。この関係(v=μ・E)の成立は、電界強度が比較的弱いときに限られています。金属で電界強度を大きくしていくと、この関係が不成立になる以前に発熱のため溶融するので問題にすることはありません。しかしながら、半導体では電荷密度(n)が小さいために発熱量も小さく、簡単にμが定数でなくなる電界強度が実現し得ます。その時、μは電界強度と共に小さくなり、ドリフト速度(v)は飽和して行き、最後には一定値となります。この状況は、飽和速度と呼ばれ、半導体デバイスで普通に起きている動作です。

No.9回答では、(1式)と係数が2異なる式が紹介されています。これは久保 亮五 編, 熱学, 統計力学, 裳華房の10章 演習問題[7]で(電子論の先駆者である)Ddudeの理論として紹介されたものです。同じ10章の例題[4]と演習問題[18]では(1式)が導かれています。なお、このDrudeの理論が係数2だけ間違っていることについては、ショックレーの半導体物理学(上)の8.4章で丁寧な説明があります。
参考URLは、実質的に今回の質問と同じ問題だと思います。オームの法則は、単純ですが、なかなか根が深いようです。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=243514

回答No.11

mmky

＃9です。まてよ！かの有名なバーデイン先生（ダイオード理論でノーベル物理学賞）をわすれていました。バーデイン先生の説明の利用でＯＫかなと思います。（熱力学、統計的な手法です。）
すべての材料には化学ポテンシャルというものがあります。ある温度におかれた材料に電圧を印加すると、化学ポテンシャルを超える電圧で、爆発的に電子の流れ、（電流）が起こります。この科学ポテンシャルを半導体物理学では、閾値（しきいち）といいます。
閾値（Vthとしましょう。）
材料の性質が、導体の場合　Vthは0に近い値（ボルト）、半導体の場合Vthは、1ボルト以下のものを利用、絶縁体ではVthはＭＶ（メガボルト）以上　など。
化学ポテンシャル（閾値の）のできる理由や詳しい説明は材料物理学を参照ください。
このとき、流れる電流Ｉは、以下の式になります。
Ｉ＝ie＾{q(V-Vth)/KT}--（1）
ここで、Ｉは電流、iは係数ですが（リーク電流といいます。）
Ｖは印加電圧、Vthは材料の閾値電圧（化学ポテンシャル）
qは電子の電荷、Ｋはボルツマン定数、Ｔは絶対温度表示の温度（度Ｋ）
常温では約300Ｋを使います。
(1)導体ではVthが0に近い値ですから、少しの電圧Ｖで大きな電流が流れます。（q/KT)は40程度の値（物理単位はボルトの逆数）です。
電子は無尽蔵には出てきませんので、材料の特性によって制限を受けます。
飽和状態といいますが、電流が一定値になるわけです。このときの電流と電圧の比（抵抗）は一定になります。
（1）からln(I/i)=q(V-Vth)/KT, I/i>>1（非常に1より大きい）
ときは、ln(I/i)≒a（I/i)　(aは補正係数、2.7を底とする対数なので）
だからＩ＝｛iq/akT}(V-Vth)≒｛iq/akT}V
｛iq/akT}は温度のみに依存する定数で単位はオーム。
ということでオームの法則は説明できますね。
(2)　ここからはおまけです。
ここで、電流Ｉの電圧変化を見てみます。
ｄI/dv=（q/KT）ie＾{q(V-Vth)/KT}
＝（q/KT）Ｉ
のようになります。
(ｄI/dv)は電流÷電圧ですから抵抗の逆数ですね。
わかりやすくするためにひっくり返します。
Ｒ＝(dV/dI)=KT/（q・I）
Ｉ×Ｒ＝KT/q　（電圧の単位）
シリコン半導体ではVthは約0.7Ｖですから、0.7Ｖを超える印加電圧から電流が流れ始めます。
そのときの抵抗Ｒは（KT/q)/I ですから電流に反比例しますね。
電流が小さいと抵抗は大きく、電流が多くなるにつれて抵抗が下がるという現象がおきます。オームの法則には当てはまりませんが、半導体での抵抗の算出方法です。
参考までに　
こんなんでどうかな？？？

回答No.10

apple-man

ayappeさんは、電子が1．6×１０（－１９）クーロン
の電荷を持った粒であるという説明はもう聞かれた
でしょうか？

　これは少しへそまがりの説明に聞こえるかもしれませんが、
電圧を上げて行っても、１つの電子を動かすのに必要な
電圧が掛かるまで電子は動きません。１つめが動いて、
さらに電圧を上げていっても、２つめが動くのに
必要な電圧が掛かるまで、次の電子は動かない。
電子の動きとはつまり、電流。ということは
電圧が増加しても電流が増えない状況があるわけで、
厳密にはオームの法則は成り立っていない？のか？
なーんてね。

　これって古典力学と現代物理学にまたがる
微妙な問題のよーな気がするのですが。

回答No.9

mmky

皆さんの指摘のようにオームの法則は実験で得られた
法則ですが、質問者の指摘のように証明があるべきですね。
オームの法則に当てはまらない場合はいくつもありますね。
例えば、空間（材料）面に1個の電子が入射し他の面から1個の電子が出てきたとしますと、抵抗という概念は出てこないですね。
（材料に高電界をかけたり、超低温にすると材料中の格子の動きが凍結し、電子はあたかも真空を突き抜けるように飛ぶことができる。）
また、空間（材料）の中を電子や電子対が光速度で飛んだ場合（電磁波電子の状態）は、電磁波論的な空間抵抗という概念は導入できてもオーム法則にはならないですね。
ということで、オームの法則が適用される条件や範囲を明確にするということでも証明は大切ですね。
oshiete_gooさんの指摘のようにオームの法則は、熱学・統計力学手法で証明されるのでしょう。
オームの法則は入出力間の電圧降下を示すことができますので、これについても説明がいりますね。
そこで、あくまでも参考の説明（間違っていたらごめん!)：
ある空間；導体、半導体：としてこの空間に単位時間あたりに注入されるエネルギーをεiとし、空間で消費されるエネルギーをΔε、空間から取り出されたエネルギーをεoとしますと、εi＝Δε+εoそこで、入力の電子群の数をＮ、その平均速度ｖi、出力の電子群の数をＭその平均速度ｖoとすれば、古典的な運動エネルギー表示を利用して
m:電子の静止質量　mi,mo 相対論的補正質量　e：電子の電荷量
k1=mi/m k2=mo/m
Ｎmi(ｖi)＾2＝Δε+Ｍmo(ｖo)＾2　になります。(係数省略）
これから、Δε＝m（k1Ｎ(ｖi)＾2-k2Ｍ(ｖo)＾2)
電流に関するキルヒホッフの法則（流入出量は不変？）をわすれてはいけないので、eＮ≡eＭ　とおけば、Ｍ≡Ｎ
Δε＝k1mＮ(ｖi)＾2{1 －(k2/k1)(ｖo/vi)＾2}　[Kg・m＾2/s＾2]
入出力電子の数はＮ、電荷量（真の電流量と解釈）にすると
ｑ＝eＮ　[A・ｓ]
エネルギー（単位ジュール）を電荷量ｑで割ったものを電圧と定義すれば、
ΔＶ＝Δε/ｑ　＝k1m(ｖi)＾2{1 －(k2/k1)(ｖo/vi)＾2}　/e 　
[Kg・m＾2/A・s＾3]
この値が電圧降下量ΔＶになりますね。
｛オームの法則では、電荷の単位[A・ｓ]を計測上の単位時間あたりの
電流単位[A]に変換したものを使っていますね。
だから電流Ｉ×電圧Ｖで表現されるエネルギーは、
ジュールの単位ではなくワットの単位（ジュール/s）になっていますね。｝
（ちよっとアバウトでごめん！）

｛参照物理単位｝
電流密度(単位面積あたりの電流量）
J＝σE　
J:[A/m＾2]
Ｅ:[V/m]
σ:[1/Ωm]　＝[A＾2・ｓ＾3/Kg・m＾3]
エネルギーε：物理単位[Kg・m＾2/ｓ＾2]
ワットＷ＝jule/sec: 物理単位[Kg・m＾2/ｓ＾3]
電子の電荷e: 物理単位[A・ｓ]
電流Ｉ：物理単位[A]⇔基準値
電圧Ｖ: 物理単位[Kg・m＾2/A・ｓ＾3]　：（Ｗ/I=Vより）
抵抗Ω：物理単位[Kg・m＾2/A＾2・ｓ＾3]：（Ωの法則からΩ=V/I ）
電場Ｅ：物理単位[V/m]=[Kg・m/A・ｓ＾3]
磁場Ｈ：物理単位[A/m]

回答No.8

apple-man

ayappeさん面白い質問をされましたね。
もしよろしかったら、どうしてオーム
の法則の理論式に興味を持ったのか？
そして、あなたは今何をされてる方なのか
お教え下さい。高校生ですか？

回答No.7

oshiete_goo

もともとは他の方も回答されているように，実験的に発見・確立されたものなのだと思いますが，一応の理論的説明(積極的説明)として，＃３の方がご紹介の方法や
（以下概略を述べますが）Drudeの理論などが初等的レベルではよく目にする話で，おそらくはそのどちらかの話を指していたのではないのでしょうか．

Drudeの理論(参考文献：久保亮五他「熱学・統計力学」)
（注：表現，表記は幾分変えています．）
熱運動による平均速度０の自由電子が，電場Eで加速されると加速度－eE/mを生じ，平均時間τで散乱されて再び速度０になるとすると，
電子の平均速度　<v>＝－eEτ/2m と見積もられ，電子当たりの電荷－eと数密度nを考えると
電流密度　j＝－en<v>＝(ne^2/m)(τ/2)E
電気伝導率σは　j＝σE　で定義されるので，σ＝(ne^2/m)(τ/2)
(導出終り)

電気伝導率σが(ほぼ)一定⇔抵抗が一定（オームの法則）
というぐらいの話なのではないでしょうか(質問のもともとの意図は)．
もちろん，他の回答者の皆さんはそんなことは先刻ご承知だったと思いますが，無恥をかえりみずの回答です．