点(X0,Y0),(X1,Y1),…,(Xn,Yn)を通るn次関数がただ一つであることの証明

質問

n次関数の証明なのですが、
「因数定理を用いて、点(X0,Y0),(X1,Y1),…,(Xn,Yn)を通るn次関数がただ一つであることを証明せよ」という問題です。

ラグランジュの補間公式の証明みたいなのですが、ただ一つであることを証明する方法がわからなくて困っています。

具体的な考え方でもよいので、アドバイスいて頂けると嬉しいです。
よろしくお願いします

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

因数定理とどうつながるか、考えた事はないですが、実用的に考えれば、
　　y＝Σa(j)*x^(n－j)
において（j＝0～n)、(x(i)，y(i))を代入すれば（i＝0～n）、
　　Σa(j)*x(i)^(n－j)＝y(i)
　　i,j＝0～n
と、a(j)に関する連立方程式になるので、解が存在すれば一意です。

　解の存在は「因数定理から」という事になるんでしょうかね？。

回答No.2

noname#221368

#1です。一つ思い出した事があります。連立方程式、
　　Σa(j)*x(i)^(n－j)＝y(i)
　　i,j＝0～n
を解く際には、本質的に係数行列、
　(b(ij))＝(x(i)^(n－j))
のdetを計算する事になりますが、
　det(b(ij))＝±Π(x(k)－x(L))
　ただしk＜L
になります（ファンベルモンドの行列式）。

　detの右辺の形から、因数定理につながらないでしょうか？。

お礼

ありがとうございます！

n+1個の方程式を解くことで、係数が一意に決まるということですよね。
因数定理は使わなくても良いみたいなのですが、わざわざ解答を絞り出して頂いて、大変嬉しいです。本当にありがとうございます。