集合の問題

質問

G={a+bi|a,b∈Q,i^2=-1}のとき
I　α,β∈G⇒α+β∈G
II　α,β∈G⇒α。β∈G
III　α,β∈G(β≠0)⇒α/β∈G
を示せ。

この問題でa,bとα,βの関連性がわかりません。
どのようにして解いたらいいのですか？教えてください。

回答No.1

tarame · ベストアンサー

α，β∈Ｇとすると、α＝a+bi，β＝c+di（a,b,c,d∈Ｑ）とおける。
このとき、α＋β，α×β，α/β が、
「p＋qi の形で表すことができる」かつ「p∈Ｑ，q∈Ｑである」
ことを示せばよい。

補足

回答ありがとうございます。返事が遅くなってすみませんでした。
I、IIについては理解できたのですがIIIについて１つお聞きしたいです。
(a+bi)/(c+di)は
＞「p＋qi の形で表すことができる」かつ「p∈Ｑ，q∈Ｑである」
をどうやって示せばいいのでしょうか？アドバイスお願いします。

回答No.2

HANANOKEIJ

(a+bi)/(c+di)分母の有理化をしてください。分母が有理数になると、
(a+bi)/(c+di)は、Gの要素になります。