微積分の解法について

質問

下記の問題がうまく解けません。
解き方を教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いいたします。

問い
y=sinh(ax)+sinh(a(b-x))で境界条件がx=x0のときy=y0、x=x1のときy=y1である。
このときの、dy/dxを求めよ。
ただし、a,b,x0,x1,y0,y1はすべて定数である。

回答No.2

mmky · ベストアンサー

問いは境界条件が与えられていますので境界領域内でのｙのｘに対する傾きdy/dxを求めるものと解釈すれば
y=sinh(ax)+sinh(a(b-x))
={{exp(ax)-exp(-ax)}+{exp(a(b-x))-exp-(a(b-x))}}／2
dy/dx
={a{exp(ax)+exp(-ax)}-a{exp(a(b-x))+exp-(a(b-x))}}／2
=acosh(ax)-acosh(a(b-x))
または、
dy/dx=acosh(ax)-acosh(ab-ax)
これがyのxに対する微分値（傾き）の一般解になる。
そこで、境界条件がx=x0のときy=y0、x=x1のときy=y1
の2点で与えられていますので、境界領域での微分値（傾き）
を求めれば、境界での微分値（傾き）は、
それぞれ
x=x0、y=y0の時
dy0/dx0=acosh(ax0)-acosh(ab-ax0)
x=x1、y=y1の時
dy1/dx1=acosh(ax1)-acosh(ab-ax1)
で与えられますね。
a,b,x0,y0,x1,y1は定数として与えられていますので
dy0/dx0,dy1/dx1 も有解、だから(x0,y0)と(x1,y1)に挟まれた
領域でｙは連続でそのときの傾き(dy/dx)は、
dy/dx=acosh(ax)-acosh(ab-ax)
で与えられる。
こういう回答のしかたでしたら境界条件に意味がでますね？

計算参考：
sinh(ax)={exp(ax)-exp(-ax)}/2
d{exp±(ax)}/dx=±a{exp(ax)}
d{exp(±a(b-x))}/dx=
(b-x)=z と置くと、
dy/dx=(dy/dz)(dz/dx)=｛±aexp(±a(b-x))}(-1)
=(-1)｛±aexp(±a(b-x))}

お礼

ありがとうございました
丁寧な解説でよく分かりました。

回答No.1

tak2006

sinh(x)の定義より、

sinh(x)={exp(x)-exp(-x)}／2

よって、

{sinh(x)}’＝{exp(x)+exp(-x)}／2＝cosh(x)

これを用いれば、

dy/dx＝a cosh(ax)－a cosh{a(b－x)}

となります。
それと、境界条件は積分の場合でしか使わないのでは？

お礼

ありがとうございました