実数

質問

こんばんは。
いつもお世話になっております。
よろしくお願いいたします。

a,b,cがa+b+c=1,a^2+b^2+c^4=4,1/a+1/b+1/c=1を満たすとき、次の値を求めよ。
(1)ab+bc+ca
(2)1/a^2+1/b^2+1/c^2
(3)(b/a+a/b)(c/b+b/c)(a/c+c/a)

それぞれ答えは
(1)-3/2(2)7/3(3)25/3です。

(1)は何を利用したらよいのか解法が思い浮かびませんでした。
(2)1/a^2+1/b^2+1/c^2=(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)/a^2b^2c^2
まで行いましたがこのあと行き詰っています。

教えてください。
よろしくお願いいたします。

回答No.4

take_5 · ベストアンサー

＞この式は#1さんが言われるように質問者さんが補足で訂正すべきです。

そんなもの、わざわざ訂正を要求しなくても分るだろう。

(1)ab+bc+caの値が出れば、a＋b＋c＝-3/2。従って、a、b、cはt＾3-t＾2-3/2t＋3/2＝0の3つの実数解。
これは、（t-1）*（t＋√3/2）*（t-√3/2）＝0と因数分解でき、しかも、a、b、cについて平等から、a＝1、b＝√3/2、c＝-√3/2としても一般性を失わない。
a、b、cの値が、具体的に求まった以上は（2）も（3）も、それを代入するだけ。

このように解が求まるのは、むしろ例外に近いので、本当は前に教えた方法の方が一般性がある。

お礼

take_5さん
ありがとうございました。

問題文のミス申し訳ありませんでした。

毎回わかりやすい解説感謝しております。
私もtake_5さんのようにできるよう頑張ります。

回答No.5

take_5

訂正です。。。。。いつもの事ながら。。。。。苦笑い

＞(1)ab+bc+caの値が出れば、a＋b＋c＝-3/2。

　　　　　　　　　　　↓

(1)ab+bc+caの値が出れば、abc＝-3/2。

回答No.3

info22

普段から手計算で式の展開や因数分解をしていればすぐ気がついて解ける問題です。
(1)(a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)
の式を利用すればすぐ出てきます。
＞a^2+b^2+c^4
この式は#1さんが言われるように質問者さんが補足で訂正すべきです。

(2)(1/a+1/b+1/c)^2=1/a^2+1/b^2+1/c^2+2(a+b+c)/abc
を使います。
abcは
1/a+1/b+1/c=(ab+bc+ca)/abc=1から、abc=ab+bc+ca
に(1)の結果を代入して出します。

(3)(b/a+a/b)(c/b+b/c)(a/c+c/a)
=(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)/(abc)^2
分子=(4-c^2)(4-a^2)(4-b^2)=(2-c)(2-a)(2-b)(2+c)(2+a)(2+b)
={8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)-abc}{8+4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)+abc}
後はすでに求めた式の値を代入すれば値が出ます。

お礼

info22さん
ありがとうございます。

問題文のミス申し訳ありませんでした。
今後このようなことがないよう気をつけます。

すごくわかりやすくて無事解決できました。
本当に感謝しております。

回答No.2

debut

a^2+b^2+c^2=4らしいので。
(1)
　(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)が使えます。
(2)
　(1/a+1/b+1/c)^2=1/a^2+1/b^2+1/c^2+2(1/ab+1/bc+1/ca)
　　　　　　　　　=1/a^2+1/b^2+1/c^2+2(a+b+c)/abc
　であり、1/a+1/b+1/c=(ab+bc+ca)/abc=1に(1)の答えを
　入れてやると　abc=-3/2です。
　よって、1^2=1/a^2+1/b^2+1/c^2+2*1*(-2/3)となり、
　1/a^2+1/b^2+1/c^2=7/3です。

　または、1/a^2+1/b^2+1/c^2=(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)/a^2b^2c^2
　で、(ab+bc+ca)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2(ab^2c+bc^2a+a^2bc)
　　　　　　　　　=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c) より
　(-3/2)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2*(-3/2)*1で
　a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=21/4となるから、
　1/a^2+1/b^2+1/c^2=(21/4)/(-3/2)^2=(21/4)*(4/9)=7/3とも。
(3)
　(b/a+a/b)(c/b+b/c)(a/c+c/a)
　={(a^2+b^2)/ab}{(b^2+c^2)/bc}{(c^2+a^2)/ca}
　で、a^2+b^2+c^2=4からa^2+b^2=4-c^2とかにおきかえて
　=(4-c^2)(4-a^2)(4-b^2)/(abc)^2
　=(16-4c^2-4a^2+a^2c^2)(4-b^2)/(abc)^2
　=(64-16b^2-16c^2+4b^2c^2-16a^2+4a^2b^2+4a^2c^2-a^2b^2c^2)/(abc)^2
　={64-16(a^2+b^2+c^2)+4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(abc)^2}/(abc)^2
　=(64-64+4*(21/4)-(-3/2)^2)/(-3/2)^2
　=(75/4)/(9/4)
　=25/3
　(3)はなんも工夫がないので、他を考えてみてください。

お礼

debutさん
ご丁寧にありがとうございます。

問題文のミス申し訳ありませんでした。

すごくわかりやすかったです。

回答No.1

koko_u_

a^2+b^2+c^4=4 なんですか？c^2 じゃなくて？
そして、タイトルがまったく内容を反映していません。

第 2 式が c^2 であれば、基本対称式の単純な問題です。容易にできるので自分でやりましょう。
c^4 であった場合は補足にその旨書いて下さい。そのとき考えます。

お礼

koko_u_さん
ありがとうございます。

そして、本当に申し訳ありません。
a^2+b^2+c^4=4 でなくc^2 でした。

今後このようなことがないよう気をつけます。