最小自乗法、誤差伝授法を用いた問題

質問

解けないので困っています。

問題：ある量の測定をN回行った。各測定値mi(i＝1,2,...N)は誤差σiを持つ。
最小自乗法と誤差伝授の考え方を用いて最良の推定値mとその誤差σmを求めなさい。
さらに、σiがすべてほぼ同じ大きさσであるとしてよいときには、
m＝Σmi/N、σm＝σ/√N
となることを証明せよ。

よろしくお願いします。

回答No.1

goma_2000 · ベストアンサー

最小二乗法は差の2乗の和を最小にするようにパラメータを
決める方法です。

今の場合、全体の平均をmとすると
　E=Σ(mi-m)^2
を最小にするmを求める問題になります。このときに誤差が既知の場合には(それぞれの測定の誤差をσiとすると)
　E=Σ(mi-m)^2/σi^2
となります。
これの最小値は、mで微分して、=0と置いて解けばよく
　∂E/∂m=Σ2(mi-m)/σi^2=0
より
　Σmi/σi^2=mΣ1/σi^2
から
　m=(Σmi/σi^2) / (Σ1/σi^2)
となります。
σiが共通でσとおける場合には上の和に外にでるので
(和の件数をNとすると)
　m=Σmi/N
となります。

その際の誤差は、誤差の伝播の法則を用いて
　Δm^2=Σ(∂m/∂mi)^2×δmi^2
で、Δmをσm、δmiをσiとおくと
　σm^2=Σσi^2/N^s
σiが共通でσの場合には
　σm^2=Σσ^2/N^s
　　　=σ^2/N
なので
　σm=σ/√N
となります。