最小自乗法

質問

ダイオードの電圧-電流特性を実験しました。
実験よりIdとVdを出して、log(Id)-Vd特性の図をグラフにしました。
このグラフと最小自乗法を使って実験定数mと逆方向飽和電流Isを求めたいのですが・・・式は整流方程式のId=Is{exp(eVd/mKT)-1}です。Kは1.381*10~-23でTは300[k]です。いろいろわからないことだらけなので簡単に教えていただくとありがたいです。質問が不十分でしたらいってください。

回答No.2

noname#70519

Id=Is{exp(eVd/mKT)-1} の関数を片対数（log(Id) vs. Vd）でプロットした
図から、Vd が ∞ になった時に Id が漸近する直線を Vd=0 のところまで
外挿し、log(Is) を求めておきます。

それから求まる Is を、Is の 0次近似とします。
その値を用いて以下の計算を行います。

log{Id+(Is)}=log(Is)+{e・Vd/(KT)}・{1/(m)} と変形します。

1/(m)=(M) とすると、log{Id+(Is)}=log(Is)+{e・Vd/(KT)}・(M)
となり、 Id に (Is) を加えたものの対数は、直線になるはずなので、一次関数の
最小自乗法を適用します。

簡単化のために
a=log(Is)
b=(M)
x=e・Vd/(KT)
y=log{Id+(Is)}　とします。

実測の Id、Vd を Id_n、Vd_n、とし、それらに対応する簡単化の変数 x を
x_n=e・Vd_n/(KT)
y_n=log{Id_n+(Is_0)} を x_n、y_n とします。(Is_0) には、0次近似として求めた
Is を用います。

そして、擬似残差平方和を
S=[n=1～N]Σ<{y_n-(a+b・x_n)}^2> とします。

∂S/∂a=2・[n=1～N]Σ<{y_n-(a+b・x_n)}・(-1)>=0
　　 [n=1～N]Σ<y_n>=[n=1～N]Σ<a+b・x_n>
∂S/∂b=2・[n=1～N]Σ<{y_n-(a+b・x_n)}・(-x_n)>=0
　　 [n=1～N]Σ<y_n・x_n>=[n=1～N]Σ<a・x_n+b・x_n^2>
以後、 [n=1～N]Σを省略して記述します。
<y_n>=a・<1>+b・<x_n>
<y_n・x_n>=a・<x_n>+b・<x_n^2>
a=(<y_n>・<x_n^2>-<y_n・x_n>・<x_n>)/(N・<1>・<x_n^2>-<x_n>・<x_n^2>)
b =(N・<1>・<y_n・x_n>-<x_n>・<y_n>)/(N・<1>・<x_n^2>-<x_n>・<x_n^2>)
なお、N・<1>=N です。

ここまでは、普通の一次関数での最小自乗法と同じです。

求まった a は、log(Is) で、これを、0次近似の Is から求めた log(Is_0)
と比較します。十分近いと見なされなければ、再度、プロット図から
Is の一次近似を求め、上述の方法を繰り返します。

Is が求まれば、b=M も求まります。
m=1/M として、mが求まります。

回答No.1

foobar

Id=Is{exp(eVd/mKT)-1}の式を変形して、
log(Id)-Vd特性に合う形にして、
最小二乗法で出てきたパラメータと突き合わせれば良いのではないでしょうか。