n^321-1が10の整数倍となるような1000以下の正の整数nの個数

質問

n^321-1が10の整数倍となるような1000以下の正の整数nの個数を求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

おはようございます。

ぱっと見た感じ、突拍子もない問題に見えますが少し落ち着いて考えると方針が見えてきます。

「10の整数倍」になるということは、一の位が「0」になるということですね。
ということは、n^321の一の位が「1」になるような nを探せばよいことになります。

まず、小さい数で考えてみると、
(1) n＝ 1は、明らかにこの条件を満たします。

(2) nが偶数の場合は、一の位が「1」になることはありません。

(3) n＝ 3のときは、
3^1＝ 3、3^2＝ 9、3^3＝ 27、3^4＝ 81、3^5＝ 243・・・
となり、一の位だけみれば 3→ 9→ 7→ 1→ 3→(以下繰り返し)となっていることがわかります。
一の位が「1」になるのは、(4の倍数+1)乗したときとなります。
321乗は、まさしく(4の倍数+1)乗ですから、n＝ 3のときには条件が満たされることがわかります。

以下、同じようなことを n＝ 7, 9についても調べます。

(1)のことをよく考えると、
11や 21、31・・・などの一の位が「1」となっている数は、すべて条件を満たしていることになります。
あとは、このような数が 1000以下でいくつあるかを勘定することになります。

ここまでくれば、倍数の個数の問題になってきますね。＾＾

お礼

さっそくのわかりやすいご回答ありがとうございます！
3の時は　3^321=3^(4x80+1)もし3^5=3^(4x1+1)=243,n＝ 3のときには条件が満たされないかなと思います。

このように考えると、答えは001,011,021,031......991 合計100個です。

回答No.2

tsuyoshi2004

問題の丸投げはまずいでしょ・・・・

なので、ヒントだけを
＞n^321-1が10の整数倍
n^321の下一桁が１になるということです。

掛け算の下一桁は掛けた数字それぞれの下一桁で決まります。
当然、下一桁が１ということは奇数なので偶数の３２１乗は該当しないし、５の倍数でもないので下一桁が５や０の３２１乗は該当しません。
従って、検討する必要があるのは下一桁が１，３，７，９だけです。
１は何乗しても下一桁はずっと１のままです。
３は３，９，７，１，３，９，７，１・・・・・と
７は７，９，３，１，７，９，３，１・・・・・と
９は９，１，９，１，９，１，９，１・・・・・と下一桁は循環します。

あとはご自身で考えてください。

お礼

皆様回答ありがとうございました。