ヤコビアン

質問

ヤコビ行列式を簡単な幾何学で説明している本を読みました。
２次元の場合は微小面積、３次元のときは微小体積を計算しつつ
ヤコビ行列式を説明してありました。

これ自体は理解できたのですが、n次元の場合はどうなるのでしょうか。
やさしく解説した書籍やサイトはないでしょうか？

それとも数学的にかなり難しくなるので、物理をやる上では
３次元の類推でn次元も成り立っていると思っていいでしょうか？

回答No.3

connykelly

以下余計な蛇足になると思いますが。。。
ご承知のようにヤコビアンは積分の変数変換をする時に必要になりますね。2次元の場合、(x,y)→(r,θ)へ変数変換すると(x,y)系での面積素片は(r,θ)系への面積素片に変換されますが、その変換はヤコビアンを通して行われますね。3次元の場合も同様で体積素片の変換が必要になります。一般にｎ次元は、、、これはｎ次元空間の体積素片の変換と思いますが。尚、n次元のデカルト座標系(x1,x2,・・・,xn)をn次元極座標空間(r,θ1,θ2,・・・θn-1)への変換を行う場合の具体的なヤコビアンは下記サイトを参照ください。
http://www1.parkcity.ne.jp/yone/math/mathB01_11.htm

参考URL：

http://www1.parkcity.ne.jp/yone/math/mathB01_11.htm

お礼

どうもありがとうございます。
サイトを見させていただきました。ヤコビアン自体は既知
という感じで、n次元極座標での計算が扱われているようです。

n次元のヤコビ行列式はかなり難しい話題のような気がしてきました。

回答No.2

HANANOKEIJ

ゴキブリが平面上を高さ０で動き回る、平面動物だとします。ごきぶりには、３次元空間である高さが認識できません。
私たちは、３次元空間に住んでいるので、４次元空間を体験できません。
そこらへんを研究しているのは、横浜国立大学の根上生也先生です。
日本評論社「トポロジカル宇宙」根上生也著を読んでみてください。
疑問を持つことは、大きな飛躍の芽生えです。大いに悩んで、お励みください。
http://d.hatena.ne.jp/asin/4535784949
http://www.nippyo.co.jp/

参考URL：

http://www.nippyo.co.jp/

お礼

どうもありがとうございます。
やはり、４次元以上のヤコビ行列式は難しそうです…
ご回答いただきましてありがとうございました。

回答No.1

HANANOKEIJ

高校数学のベクトルも、座標も、点、直線、平面、立体までは、座標で表示できますが、４個以上の要素をもつベクトルを図示することはできません。
また、y=f(x).という関数(写像)は、xy座標に表示できますが、z=f(x).が複素数のときは、fを図示することが困難です。
困難に出会うと、3次元までの議論に矛盾しないように、類推で概念を拡張します。
大学の数学の線型代数や、多変数の微分積分で、変数が4個以上の場合です。
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/110ksk.html

参考URL：

http://www.f-denshi.com/index.html

お礼

どうもありがとうございます。
４次元以上のヤコビ行列式をどう理解していいのか戸惑っています。
教えていただきましたサイトを見させていただきました。
ヤコビ行列式は２次元で説明されているようで、
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幾何学的な直感が働くのは３次元までですが，4次元以上へ拡張も形式的な拡張が可能です。
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と書かれておりました。この４次元以上が気になったりしております（汗）。
どうもありがとうございました。