三角関数

質問

t=cos(x+30）とする。
ｔ^2-(a+1/2)t+a/2=0の時、a=『　』又はa=『　』は、xは0以上360より小さい範囲に３個の解をもつ。

という問題で、私は・・・
a=t^2-0.5t/t-0.5
=t
即ち、cos(x+30）=a　（xは30以上390より小さい）
として、単位円で考えたけれどもこたえが出ませんでした。

どのようにしたら、答えがでるのですか？教えてください。
ちなみに答えは、a=1とa=-1です。

回答No.2

noname#7269 · ベストアンサー

ａ＝ｔを導くときに、展開して
ｔ＾２－ａｔ－１／２ｔ＋ａ／２＝０
ｔ＾２－１／２ｔ＝（ｔ－１／２）ａ
（ｔ－１／２）ｔ＝（ｔ－１／２）ａ
から、両辺ｔ－１／２でわって
ａ＝ｔ　としたのかな？これはまずいよね！

Umadaさんの通り、式を見たら因数分解できることに気づかないと・・・。もし気づかなくても、上の式でも
ｔ＝１／２、ａと２解がでます。（ｔについての２次方程式だもんね！）
さて、次にｔ＝１／２　つまり
ｃｏｓ（ｘ＋３０）＝１／２
を解くと、ｘ＝３０、２７０は単位円でｏ．ｋ
よって、ｃｏｓ（ｘ＋３０）＝ａ　が１つの解をもてばいいわけで・・・。
とすると、単位円をかいてみると、解が一つなので接する場合になります。
ａ＝１、－１になります。
単位円で考えるようなので、できるだけそうしてみました。

回答No.1

Umada

与えられた方程式は
　(t-1/2)(t-a)=0
と書き直せます。ただちに
　t=1/2　または　t=a
が解であることが言えます。
t=1/2からは、
　cos(x+30°)=1/2
として、x=30°, 270°と求められます。これで解は2つ確定します。

さて、t=aの方がちょっと厄介ですね。
a＜-1　の時は、題意を満たすxは存在しません。(当たり前ですが、cosの値は-1以上1以下しかとりませんので)
1＜a　の時も同じです。
-1＜a＜1なら、そのようなxは2つ存在します。(単位円を書いてみれば、cosの値一つに対し角度が二つ存在することは容易に分かりますよね)
これらのときはt=aから解が2個出てきますから、t=1/2の時と合わせ4つの解が存在することになります(*)。題意(解が3つ)を満たしません。
ちょっと特殊なのがa=1とa=-1の時で、単位円で考えれば一番右端/左端に来た状態です。これらの時はcos(x+30°)の値が一つしか存在しません。t=1/2の時の解(2個)と組み合わせて合計3つの解が存在することになって、題意を満たします。

* a=1/2の時は、重根になりますからこのときだけは解は2つに減ります。