三角関数の問題について

質問

y = sin^2(x)+cos(x)+a がx軸に接するときのa(a>0)の値を求めよ
という問題についてです
私は、与式を1-cos^2(x)+cos(x)+aと変形させcos(x)=tと置き
1-t^2+t+a=0 として、判別式=0から求めたのですが
a=-5/4と正解(a=1)とはかけ離れた答えになってしまいました
すごく初歩的な問題ですが、どうしてこの解法が間違っているのかわかりません
あと、どう解いたら正解に辿りつけるのでしょうか。
教えてください！

回答No.2

noname#154783 · ベストアンサー

「x軸に接する」ということは
「微分係数が0になるxにおけるyの値が0になる」ということです．

y = sin^2 x + cos x + a
は周期2πの周期関数なので，0 ≦ x < πに限定しても一般性を失わない．

yを微分すると
y' = 2sin x cos x - sin x = sin x (2cos x - 1).

方程式 y' = 0 を解くと，
sin x = 0 または cos x = 1/2 より，

x = 0, π/3, π, 5π/3.

i) x = 0 のとき
y = 1 + a = 0 を満たす正のaは存在しないので，題意を満たさない．

ii) x = π/3 のとき
y = 5/4 + a = 0 を満たす正のaは存在しないので，題意を満たさない．

iii) x = π のとき
y = -1 + a = 0 より a = 1 であればx軸に接する．

iv) x = 5π/3 のとき
y = 5/4 + a = 0 を満たす正のaは存在しないので，題意を満たさない．

以上より，題意を満たすのは
a = 1.

「t = cos x と置いて，
2次方程式 1 - t^2 + t + a = 0 の判別式が0になるaを求める」
という方針だと
「y = 1 - t^2 + t + a という t の関数のグラフがt軸に接する」
という条件を満たすaを求めることになりますが，
このt の関数のグラフがt軸に接するとき，
xの関数としてのyがx軸に接するとは限りません．

※ それに，判別式 = 0 を満たす a = -5/4 は a > 0 を満たしませんし．

お礼

丁寧な解説ありがとうございました！
やっとすっきりしました
本当に感謝です。

回答No.3

noname#154783

すみません．先の回答に添付した図が緑色になってしまいました．
（グレースケールのプログレッシブJPEGだとこうなるらしい．）
もう一回，図を投稿します．

お礼

グラフだけのために、わざわざ再投稿していただきありがとうございます
参考にさせていただきます

回答No.1

bgm38489

この解法だと、ｔ軸に接するとき、となるのでは？
ｙが０の時、ｔが重解になるのではなく、ｘが重解になる。
解き方はわからないけど…

お礼

回答ありがとうございます！
仰っている通りのような気がしますｗｗ
アドバイスありがとうございました