0.999999999・・・=1

質問

『0.999999・・・=1』を証明する方法はいくつかあります。
ということは、『0.999999・・・=1』は正しいということですね。
なんかおかしくないですか。0.9999999・・・は明らかに1より小さいと思います。

ちなみに証明方法の例としては、
１÷３=0.33333333・・・
両辺に3を掛けると
１÷３×３=0.999999・・・
左辺＝1＝右辺＝0.9999999・・・

回答No.16

gootaroh

お気持ちは大変よく分かります（笑）。無限って難しいですよね。想像の世界ですから。ある意味で哲学の領域だと思います。

0.9と1との間には差がありますよね。0.99と1との間にも差はありますし、0.999と1との間にも差はあります。0.9999だって、0.99999だって、1よりもほんの少しだけ小さいわけです。

同じように、0.999…と1との間にも、ほぉ～～～んの少しだけですが、隙間があります。ええ、あるんですよ、間違いなく。1と一緒なら、最初から1と書けばいいんですから。

ところがですねぇ、0.999…の場合、悲しいことに、その差を指摘しようと思っても、直ちにもう一桁「9」が出現するんですよね。で、更にわずかになった差を指摘したとたんに、また「9」が出てくる…。そしてまた小さくなった隙間を指摘したとたんに、またもや「9」が…、の繰り返しです。

結局のところ、差を指摘しようと思ってもできないんですよね。

理由は簡単。「9」より大きな一桁の数字はないからです。

言い方を変えれば、「差がある」ということは、「（0.999…）< A < 1 」の「A」がどんな数値かを言えるということです。でも「9」より大きな一桁の数字はないので、表現のしようがないですよね。

ですので、0.999…と1との間には「差がない」というよりも、正確には「差を指摘できない」というべきです。文学的な表現を用いるならば、「0.999…とは、1より小さいどんな数よりも1に近い数」とでも言いましょうか。

いずれにせよ、差を指摘できない以上、「もはや同一の数値として扱うしかありませんなぁ」というわけです。数字じゃないですよ。「数値」としてです。

ですので、0.999…と1は、数値としては、100％、完全に、完璧に一緒なのです。「≒」じゃありません。「＝」です。

ちなみに、私が感心した説明（証明というほどではありませんが）は、

0.1111…　＝1/9　
0.2222…　＝2/9
0.3333…　＝3/9＝1/3
0.4444…　＝4/9
ですよね。同じように続けて、
0.5555…　＝5/9
0.6666…　＝6/9＝2/3
0.7777…　＝7/9
0.8888…　＝8/9
となります。もう一つ続けると…

0.9999…　＝9/9＝1

というものです。「う～ん、9って不思議な数だなぁ」と妙に納得してしまったものです（笑）。

回答No.15

Ichitsubo

>0.99999999…－１＝-0.00…001＜0
>じゃないですか？
誤りです。
なぜなら
　0.999…999999…
＋0.000…001
　1.000…000999…

筆算にて1-0.999…をやってください。永遠に0が続きます。
すでに出ているとおり、9は永遠に続くのにも関わらず、勝手にどこかの有限個で打ち切ってしまっているだけです。

また#12さんの回答とほぼ重複しますが、「中間値の定理」というものがあります。
異なる二つの実数a,bには、a＜c＜bとなるような数cが存在するというものです。
もし仮に1と0.999…が異なる実数だとすると0.999…＜c＜1となるようなcが存在するはずです。しかしどうにもこうにもこのcを持ってくることができません。何か一つ例を挙げてみてください。(その例を挙げたらあっという間に論破されますが)

回答No.14

task8371

高2で、青二才ですがこれではだめですか？
連立方程式の発想です

a=0.9999…←(1)とおくと
10a=9.999…←(2)
(2)－(1)をすると
9a=9
よってa=1
となるから
0.9999…=1　は証明された<終>

どうでしょう？

回答No.13

fusem23

＞0.9999999・・・は明らかに1より小さいと思います。

１の位が０なので、１より小さい気がするんですよね。

それぞれの数から、１を引いてみてください。
１－１＝０
0.9999999－１＝－０（強いて表せば）

これを正の数と負の数と考えているようなものなんでしょうね。

お礼

ご回答ありがとうございます。
0.99999999…－１＝-0.00…001＜0
じゃないですか？

回答No.12

Ishiwara

0.999‥（無限に続く）=1は正しいです。
0.999‥という具体的な数が定義されているのではなく「極限値」というものが定義されているからです。
e>0として、どんなに小さいeを仮定しても、
0.999‥（9がn個）>1-e
を満たす有限の数nが存在するときに、0.999‥（n=∞すなわち極限値）が１であると定義されています。（←この表現自体は具体的な数で説明していますが、正式にはもっと一般的な形で説明します）。

回答No.11

BASKETMM

この質問に答えるのは困難です。おかしくありませんと一言で答えたのでは、ご満足は得られません。しかし詳しく説明するには「道具＝言葉」が不足しております。
１．数学というのは論理の組み立てで成り立っています。従って、基礎数学から始めて公理、定理のつながりで説明して行かなくては正確な議論は出来ません。
２．一方に於いて、私たちの生活から見れば、買い物に必要な足し算、引き算を小学生から手っ取り早く教えて行かなければなりません。色々な面で、暗黙の了解が用いられて行きます。

この二つの立場はお互いに矛盾している点が含まれます。今回のご質問はこの二つの立場の中間（接点と言うべきかも知れません）に置かれているから、明確な答えが出ないのであると思います。

数とは何ですか。実数とは何ですか。等しいとは何ですか。このような定義を踏まえた上でなければ、正しい答えは出ないでしょう。
私が学校を出てから時間が経ちました。最近の学生さんがどのような本で学んでおられるか知りません。私の時代なら、解析概論／岩波書店で実数の定義は知りました。今も販売されていますし、内容は間違っておりません。時代を形作る名著です。（英語で言えばエポックメイキング！）質問者の方がご興味をお持ちなら先ず図書館で見てご覧なさい。

回答No.10

dxdydzdw

おかしくありません。
0.999999・・・・・・・
の、・・が無限に続くという前提で、ならば、全くおかしくありません。あなたが「明らかに」というのは、単にあなたの脳内に有限個の数字しかイメージできていない状態であるということの反映でしかありません。
極限の概念がしっかりと把握できていれば、納得することができるはずです。

回答No.9

kabotya636

今、Ｑno.4427982の{確率の問題｝に書き終えて、この問題に気づいたのですが、全く同じ説明があてはまるようです。
よかったら、その私の説明を見ていただけるでしょうか？

回答No.8

D-1coffee

なにをそんなみみっちいことを考えているんですか？

0.999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999=1でいいじゃないですか。

これじゃ、まだ飽き足りませんか？
いい加減にしないと頭禿げますよ

回答No.7

arrysthmia

＞ 0.9999999・・・は明らかに1より小さいと思います。

極限の計算に慣れていないんだね。
収束する数列 a_n の各項が a_n < α を満たすとき、
lim[n→∞] a_n ≦ α は証明できるが、
lim[n→∞] a_n < α が成立するとは限らない。