部分分数分解について。

質問

(2x^2-x-3)/(x-1)^2(x-2)を部分分数に分けるとき、
a/(x-1)^2＋b/(x-2)とおくと計算が合いません・・・。
なんででしょうか？；；

参考書では(x-1)^2と(x-1)と(x-2)でわけると書いてあるのですが、
(x-1)^2と(x-2)の分け方では何故いけないのでしょうか・・・。
どなたか教えてください＞＜

回答No.5

age_momo · ベストアンサー

連立方程式の復習をして見ましょう。

x+y=3
3x+2y=10

という式なら答えは求まりましたね。
（二つの式が一次独立つまり,一つ目がx+y=aのとき、二つ目が
k(x+y)=bのような形でない限り）

では、

x+y=2
3x+5y=10
4x+2y=8

を同時に満たすx,yの組はあるでしょうか？
ある時もない時もありますがたいていの場合はありません。
（グラフでいうと3つの直線が1点で交わる場合のみある）
後一つ変数が増えて

x+y+z=2
2x+4y+7z=6
5x+3y+4z=10

これなら三元方程式ですから一次独立なら解はあります。
（こういうことは中学で勉強したと思います）
これを踏まえて質問者さんの解法を見ると

(2x^2-x-3)/(x-1)^2(x-2)=a/(x-1)^2+b/(x-2)={a(x-2)+b(x-1)^2}/(x-1)^2(x-2)
={bx^2+(a-2b)x-2a+b}/(x-1)^2(x-2)

b=2
a-2b=-1
-2a+b=-3

答えがある場合もない場合もあると書いたような変数二つ、式三つ状態です。
解がない場合がほとんどです。
解説のように
a/(x-1)^2とb/(x-1)とc/(x-2)としておけば変数3つ式3つで解が求められます。
また、そうしておけば真ん中の式が不要の場合（質問者さんの方法で求まる場合）は
b=0となって計算できます。だから、3つの式に分解しているのです。

お礼

ご回答ありがとうございます！
解決できました。ありがとうございました！

回答No.7

noname#47975

#2です。どうやらまだ分かっていないようですね。
では自力で、(2x^2-x-3)/(x-1)^2(x-2)を積分可能な形に変形して見て下さい。

(2x^2-x-3)/(x-1)^2(x-2) = {(2x^2-x-3)/(x-1)}{1/(x-1)(x-2)}
={(2x^2-x-3)/(x-1)}{1/(x-1)-1/(x-2)}
={(2x+1)-2/(x-1)}{1/(x-1)-1/(x-2)}
.....
続きはご自分で．．。
変形を続けていくと最終的には例の形になります。

お礼

ご回答ありがとうございます！
解決できました。ありがとうございました！

回答No.6

Meowth

分母が2次の場合、分子は1次式にしないといけません。
(ax+c)/(x-1)^2＋b/(x-2)
とすれば、部分分数分解できます。

お礼

ご回答ありがとうございます！
解決できました。ありがとうございました！

回答No.4

info22

仮に
(2x^2-x-3)/{(x-1)^2*(x-2)}=a/(x-1)^2＋b/(x-2)　…(1)
とおけたとするとこれは恒等式であるから
両辺に{(x-1)^2*(x-2)}を掛けて分母を払うと
(2x^2-x-3)=a(x-2)+b(x-1)^2=bx^2 +(a-2b)x+(b^2-2a)
恒等式であるから、各次数の項の係数が左辺と右辺で等しい。
(3項ありますので変数は２つですが、方程式は3つ出来ます。)

2次の係数：b=2
1次の係数：a-2b=a-4=-1 →　a=3
定数項：b^2-2a=4-2a=-3 →　a=7/2

従って、aが一致しないので(1)式は恒等式と言えない。
つまり、(1)式の左辺は、右辺のように変形できない（置けない）と言うことです。

しかし
(2x^2-x-3)/{(x-1)^2*(x-2)}=a/(x-1)^2＋b/(x-1) +c/(x-2)　…(2)
とおけたとするとこれは恒等式であるから
両辺に{(x-1)^2*(x-2)}を掛けて分母を払うと
(2x^2-x-3)=a(x-2)+b/((x-2)(x-1))+c(x-1)^2
=(b+c)x^2 +(a-3b-2c)x+(2b-2a+c)
恒等式であるから、各次数の項の係数が左辺と右辺で等しい。
b+c=2
a-3b-2c=-1
2b-2a+c=-3
（3変数で方程式は３つのみ）
a,b,cについて解くと
　a=2, b=-1, c=3
となって矛盾しません。つまり(2)のように置けるということです。

このように部分分数に分けた時の分子を未知数として、与え、分母を払って、係数比較して未知数の定数を求める方法を未定係数法と呼びます。
分数式がどのような部分分数式の和として表現できるかを、教科書や参考書を広げて、復習確認しておいて下さい。

お礼

ご回答ありがとうございます！
解決できました。ありがとうございました！

回答No.3

Tacosan

(x-1)^2 は 2次式なので, その分子は 1次式を仮定する必要があります.
参考書のように x-1 と (x-1)^2 にわけるときは
a/(x-1) + b/(x-1)^2 = (ax + (b-a))/(x-1)^2 なので, (結果的に) 1次式を仮定したのと同じことになります.

お礼

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回答No.2

noname#47975

a/(x-1)^2＋b/(x-2)とおくと計算が合いません・・・。
なんででしょうか？；；

その形に変形できないからとしか言いようがありません。
つまり、恒等的に等しくなるようなa,bが存在しないという事です。

お礼

ご回答ありがとうございます！
解決できました！ありがとうございました。

回答No.1

fellows

こちらが参考になるかとおもいます。
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/q-and-a/2003/06/20030627-1.html

お礼

ご回答ありがとうございます！
そのサイトじっくりみてみます！