対数の大小問題

質問

log(10)4と3/5の大小を導出する問題が解けません。
3/5を(3/5)*log(10)10としたのですが、それ以上
どうすればよいかわからなくなりました。
どなたか明快な解答をお願いできないでしょうか？

回答No.1

age_momo · ベストアンサー

>(3/5)*log(10)10とした

では、その線で進めてみましょう。

(3/5)*log(10)10=log(10)10^(3/5)=log(10)1000^(1/5)

一方、

log(10)4=log(10)(4^5)^(1/5)=log(10)1024^(1/5)

どちらが大きいでしょう？

お礼

早速の解答ありがとうございます。
とっかかりはよかったんですが、こういう風に展開するんですね。
大変、勉強になりました。

回答No.5

kumipapa

#2です。アホでした。
＞　log(10)4 = (1/5) log(10)4^5 = (1/3) log(10)1024

当然、最後は1/3ではなくて(1/5)log(10)1024です。
何をどう打ち間違えれば1/3になるのやら。

お礼

いえいえ、そこについては問題ありません。
全体的な解き方はよくわかりました。

回答No.4

take_5

対数は常用対数なので底は省略する。

log4＝2log2＝2log（10/5）＝2{1-log5}。つまり、log5の小数第１位の値を求めると良い。
（10）＾3＝1000＜3125＝（5）＾5.　よって、両辺を2乗すると、（10）＾6＜（5）＾10‥‥(1)
又、（5）＾3＝125＜128＝（2）＾7.　よつて、（5）＾3＜（2）＾7。
両辺に、（5）＾7をかけると　（5）＾10＜（10）＾7‥‥(2)
(1)と(2)から（10）＾6＜（5）＾10＜（10）＾7‥‥(3)。3辺の10乗解をとると、（10）＾0.6＜5＜（10）＾0.7‥‥(4)。
以上から、0.6＜log5＜0.7‥‥(5).　log5＝1-log2より(5)に代入すると、0.3＜log2＜0.4となり、log4＝2log2でもあるから、0.6＜2log2＜0.8。3/5＝0.6だから、log4＞3/5となる。

お礼

こういった解き方もあるんですね。
論理的で理数系的な考え方で感服致しました。

回答No.3

zk43

4^5=2^10=1024>1000=10^3
log(10)4^5>log(10)10^3=3
5log(10)4>3
log(10)4>3/5

お礼

シンプルでとてもわかりやすいです。
ありがとうございました。

回答No.2

kumipapa

もっとスマートな考え方があるのかも知れませんが・・・
質問者さんの方向で、
3/5 = (3/5) log(10)10 = (1/5) log(10)10^3 = (1/5) log(10)1000
log(10)4 = (1/5) log(10)4^5 = (1/3) log(10)1024

∴ log(10)4 ＞ 3/5