円錐の重心

質問

扇形の紙を張り合わせて底面と頂面のない円錐を作ったときの重心位置の求め方を教えてください。

回答No.3

島崎 崇（@tadopika） · ベストアンサー

まず、物体の重心の定義は、
「物体の各微小部分の"質量*位置"の合計」/「物体の質量」.....[1]

問題は、側面のみの円錐台ということですね。
円錐台を含む大円錐の高さをH, 欠けた小円錐の高さをhとし、円錐の頂点を原点にとって円錐の高さ方向にx軸を設定します。
次に、x軸に垂直な平面で、円錐を細かく等幅dxで輪切りにして、この輪の質量をdMとします。
すると、dMは、円錐頂点と輪中心との距離xに比例している（紙の厚さは一定と仮定します）ので、定数kを使って、
dM=kx
と書けます。円錐の質量Mは、
M=∫(x=h～H){dM}dx
=∫(x=h～H){kx}dx
=k(H^2-h^2)/2.

一方、円錐の重心をGとすると、[1]より、
G=1/M*∫(x=h～H){dM*x}dx
=2/k(H^2-h^2)*∫(x=h～H){kx^2}dx
=2/3*(H^2+Hh+h^2)/(H+h).

ここから、
G=h+(H-h)*(2H+h)/(3H+3h)
と変形すると、重心位置は、小円の中心と大円の中心を(2H+h):(h+2H)に内分する点であることが分かります。

お礼

細かな解説までつけていただいて誠にありがとうございます。

非常に助かりました。これまで、本当にこれでいいのかと疑心暗鬼で検討を重ねてきましたが自信をもって前に進むことが出来そうです。

どうもありがとうございました。

回答No.4

tiltilmitil

ご質問の形状は、「円錐台」で、その側面のみということでしょうか。たぶん、円錐台の上面の周長を上底、下面の周長を下底、母線を高さとした台形の重心位置でいいと思うのですが…。細かい公式はちょっと思い出せません。

お礼

夜分遅くにもかかわらずご回答くださいましてありがとうございます。

『円錐台』と呼ぶのですね。

いまさらながら自分の知識の無さを恥ずかしく思います。

今後とも色々な形でお世話になると思いますがよろしくお願いします。

回答No.2

BookerL

「底面のない」はわかりますが、円錐の頂面とは？

　円錐の高さをＬとし、底面の半径をｒとした中空の円錐の側面だけのものを考え、その重心の位置を ｘ0 とします。

　頂点が原点で、ｘ軸を円錐の軸とする座標を考えます。次の積分の値が ０ になるようなｘ0 が重心の位置です。

∫[0,ｘ0](2πｒｘ/Ｌ)(ｘ0－ｘ)dx - ∫[ｘ0,Ｌ](2πｒｘ/Ｌ)(ｘ－ｘ0)dx

計算してみると、ｘ0＝(2/3)Ｌ となります。（たぶん）

ということで、重心の位置は、頂点から高さの３分の２のところ、あるいは底から３分の１のところ、ということになりそうです。

ちょっと計算には自信がなかったりして(^^)ゞ

お礼

本当に皆さんありがとうございます。

頂面のない円錐とは、側面図を書くと下図のような物を想像してください。
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ちょっといびつですがこんな形を想像していただいて
底の面と天井の面が無い形です。
BookerL様のアドバイスを発展させますと三角形の重心（円錐を構成する面を三角形の紙でポリゴンの様に作った場合）の集まりと考える事ができるように考えますが、
とゆうことは上図の場合は台形の重心の集まりと考えることは間違いでは無いと確信が持てました。

重ね重ね、本当にありがとうございます。

回答No.1

10ken16

単なる円錐の重心なら、
全高の１／４の高さになりますが…。

お礼

早速のアドバイスありがとうございます。
まさに中身の詰まった円錐の重心は底辺からの高さが1/4の位置に重心があることは色々調べてわかったのですが・・・。
底面と頂面が無く中身の無い円錐の重心がわかりません。

とりあえず、台形の紙を数枚張り合わせてポリゴンのようなニセ円錐を仮定して仮想重心を算出する方法をとってみました。当然の事ながら台形の紙を細かくすればするほど精度は向上するのですが、計算一発ドーン！と出る方法があればと思い質問させていただきました。

お忙しい中にも関らずありがとうございます。