二次関数、変域の問題・・・

質問

ｙ＝－(ⅹ＋2)^2＋5において、ⅹの変域を－3≦ⅹ≦0とするとき、yの変域は「」≦ｙ≦「」である。

という問題なのですが、私は、ⅹが－3のとき、
ｙ＝－(ⅹ＋2)^2＋5
↓
ｙ＝－ⅹ^2－4ⅹ－4＋5
↓
ｙ＝－9＋12＋1
↓
ｙ＝4
という答えになったのですが、正解は5でした。
どこが間違っていましたか？

回答No.6

noname#74443 · ベストアンサー

#1です。
y=(x+a)2+b はx2のグラフを
x軸方向に-a：　x+a=0、x=-aで求める。
y軸方向に+b： x=-aだから、y=(-a+a)2+b、y=b
移動したグラフになります。
　その時、x=-aの値が最小値(最大値）になります。
　最大値、最小値になるかは(x+a)2の場合は下向きに凸で最小値、
-(x+a)2の場合は上向きに凸で最大値を取ります。

　問題のy=-(x+2)2+5の場合
-が付いているので最大値、(x+2)2だから、x=-2の時にy=5になるのです。
　ですから、二次関数をy=(x+a)2+bの形に変形すると、グラフを書かなくても最大値最小値がわかります。

例y=x2+8x+3の場合
y=(x2+8x+16)+3-16 (平方の形にするために16を加えて、引いています)
y=(x+4)2-13 x=-4の時、最小値y=-13

例２y=-x2+8x+3の場合
y=-(x2-8x+16)+3+16 (符号に注意)
y=-(x-4)2+19 x=4の時、最大値y=19

お礼

つまり、式からは、最大値か最小値か、どちらかしか、分からないということですか？
問題のy=-(x+2)2+5からは、最大値を割り出せました。最小値は、どうやって割り出すのでしょうか？
お手数おかけします・・

回答No.9

noname#74443

＃６（＆＃１）だす。

y=ax2+bx+c (a≠0)のグラフは"a"が
a>0(正の数)なら下に凸"Ｕ"の放物線で最小値を持ち
(最大値は∞ですので計算する意味がない）

a<0(負の数)なら上に凸"∩"の放物線で最大値を持ちます。
(こちらも最小値は-∞なので計算する意味がない)

　問題のy=-(x+2)2+5は展開するとy=-x2+-4x+1です。
x2の係数が-1ですので、グラフは上に凸"∩"の放物線。
よって、最大値しかありません。

お礼

グラフを書ければ、大丈夫、ということで・・・
ありがとうございました。
もっと勉強しなくては駄目ですね・・

また質問したときは、よろしくおねがいします。
質問を締め切らせていただきます。
本当にありがとうごいざいました。

回答No.8

kumipapa

#7です。
＞　下に凸な放物線で、頂点は（－２，５）ということは、この式を一目見れば分かります。
はデタラメでした。「上に凸な放物線～」でした。ごめん。

回答No.7

kumipapa

＞　式から、上に凸が下に凸か、頂点の座標などを求められません

そうか・・・。
今回の問題では、問題文で与えられている式がｙ＝－(ⅹ＋2)^2＋5です。
下に凸な放物線で、頂点は（－２，５）ということは、この式を一目見れば分かります。というか、分かるようでなければなりません。このような形の式を平方完成といいますが、これが頂点の座標を求めるためのものであることが分かっていないようでは、この先進むのは相当厳しいでしょう。問題としては最も易しい問題です。

この問題の解き方だけを教えてもらっても、あなたにとって得るものは何もないでしょう。今後、苦労は増すばかりです。この問題の解き方を学ぶ前に、２次関数とグラフについて、もう一度教科書を隅から隅までやり直した方が良いでしょう。もう習ったのですよね？
この問題は、それから自力で解きましょう。

回答No.5

kumipapa

＃３です。
＃３への質問者からのコメントについては、＃４さんが端的に答えてくださいました。是非参考にしてください。
グラフ用紙なんか引っ張り出す必要はありません。
目盛りの正確さは問題ではないのです。
全てフリーハンドでＯＫ。

＞　式から答えを求めることはできないのでしょうか
ということから、どうも、グラフを書くという話を理解されていないと感じます。グラフを書くとは、グラフの要点（上に凸が下に凸か、頂点の座標など）を式から計算で求めて、それに基づいてグラフを書くことを言っています。決して、
＞　－１、－２、－３、全てを当てはめて見るのでしょうか
というようなことを言っているのではありません。

＞　グラフを書くと、頂点は（－２，５）になるのは分かりましたが
との事。言葉尻を捕らえるようで申し訳ないのですが、これはグラフを書いて分かったのですか？それとも、式から直接分かったのですか？どちらでしょう。式から直接分かったのでなければ意味がないのですが。

お礼

＞どうも、グラフを書くという話を理解されていないと感じます・・

そのようです・・
式から、上に凸が下に凸か、頂点の座標などを求められません。
それができなきゃ話にならないですよね。

＞これはグラフを書いて分かったのですか？

そうです。式から直接は分かりません・・・

回答No.4

debut

関数の問題の場合、グラフはいろんなことを教えてくれます。
特に、変域問題（＝ｙの最大値・最小値問題）では、グラフを
見るだけで明らかになります。

そのグラフもフリーハンドの概形でいいんです。
この問題の場合でしたら、ｘ軸を大体等間隔に、-1,-2,-3に
目盛りをつけて、ｙ軸は1,2,3,4,5に目盛りをつけて、
頂点(-2,5)とｘの変域の端っこの点(-3,4)、点(0,1)をとって、
これらを放物線の形で結ぶ、といった具合です。

すると、グラフの一番高い所がｙの最大値、一番低い所が
最小値と、一目瞭然になります。

１次関数ならｘが増加すればｙも増加したまま、あるいは減少
したままなのでｘの変域の端っこの値を代入するだけでｙの変域
は直接計算できますが、２次関数はｙが増加から減少に転じたり
減少から増加に転じたりするので注意が必要です。

とにかく、関数の問題はグラフが決め手です。

回答No.3

kumipapa

どうもごく基本的な事がまだ理解できていないようですね。
まず、ｙ＝－(ⅹ＋2)^2＋5のグラフを書けますか？
書けますね。２次式の問題を解くにあたって、グラフを書くことはとても大切。頭の中でさっとグラフが書けるようになるまでは、実際に丁寧にグラフを書くことをお勧めしたい。グラフには頂点の座標もきちんと書き込む。質問する前にグラフを書いて考える。
（もしグラフを書けないなら、この問題を解く資格無し。グラフを書くところから勉強しなおすべし）

グラフの形はどうなりますか。そして、頂点の座標はどこになりますか？
グラフは、上に凸な放物線で、頂点の座標は（－２，５）。ＯＫですか。

そうしたら、そのグラフ上で、－３≦ｘ≦０の範囲でｙの値がどのように変化するか調べる。
まず、ｘ＝－３のとき、ｙ＝４。ここからスタート。
ｘを徐々に増やしていくとｙの値も増加し、ｘ＝－２の時ｙ＝５となり、この点がｙが最大となる点。
さらにｘを徐々に増やしていくと、今度はｙの値は減少し、ｘ＝０の時ｙ＝１となる。
ということで、ｘの値を－３≦ｘ≦０の範囲で変化させたときｙがとる値の範囲は、１≦ｙ≦５です。

この問題のように、２次式の場合には、ｘの変域の両端（今回の場合はｘ＝－３とｘ＝０）でのｙの値が、そのままｙの変域になるとは限りません。それが通用したのは、中学校でならった直線の変域まで。
グラフを書いてきちんと理解されたし。

お礼

ごめんなさい。無知すぎてお恥ずかしい限りです・・・

グラフを書くと、頂点は（－２，５）になるのは分かりましたが、
つまりこの問題は、グラフを書かないと答えが分からないのでしょうか？それとも、グラフを書いているうちに、慣れで分かるようになるのでしょうか？
はたまた、－１、－２、－３、全てを当てはめて見るのでしょうか？
式から答えを求めることはできないのでしょうか？

方眼紙引っ張り出してきますね・・
アドバイスありがとうございました。

回答No.2

sanori

グラフの頂点は、ｙ＝５　ですね。

グラフを右に２ずらす、つまり、ｘ＋２＝ｚ　と考えると、
ｘ＝ｚ－２　なので、
ｙ　＝　－（ｚ－２＋２）^2　＋　５
　＝　－ｚ^2　＋　５
となり、ｚの左右に対称なグラフ。
ｚの変域は、
－３　≦　ｚ－２　≦　０
なので
－１　≦　ｚ　≦　２
ｚ＝０が変域に含まれているので、ｙの最大値は頂点である５です。
また、グラフが左右対称なのでｚ＝０に近いｚ＝－１よりも、
ｚ＝０から遠いｚ＝２のほうが、ｙは小さい値になります。

というわけで、ｙの変域は、
ｚ＝２におけるｙ　≦　ｙ　≦　５

回答No.1

noname#74443

-(x+2)2が最大値を取るにはx+2=0、x=-2の時

お礼

それは、即座にわかるものなのですか？
計算で求めるのですか？