どんなグラフ？

質問

ｆ(ｘ)＝ｘ／{１＋２^(1/x)｝　(ｘ≠０のとき)
　　　　０　　　　　　　　　 (ｘ＝０のとき)

このグラフってどんな感じになるんですかね？
またこれはｘ＝０で連続になるでしょうか？
グラフ以外から証明するにはどうするんですかね？

回答No.1

info22 · ベストアンサー

>このグラフってどんな感じになるんですかね？
グラフは参考URLにアップロードしておきましたのでご覧下さい。
漸近線y=(x/2)-{ln(2)/4}
も同時に示しておきました。

>ｘ＝０で連続になるでしょうか？
>グラフ以外から証明するにはどうするんですかね？
連続の定義通りに、x=0における
limit[x→0+] f(x)=limit[x→0-] f(x)=f(0) (= 0)
を示せば良いでしょう。

参考URL：

http://upp.dip.jp/01/img/1317.jpg

お礼

アップロードありがとうございました。助かりました。

＞連続の定義通りに、x=0における
＞limit[x→0+] f(x)=limit[x→0-] f(x)=f(0) (= 0)
＞を示せば良いでしょう。

ってあるのですが、これはグラフより成り立つ。
じゃ、やっぱりダメですかね？？

回答No.4

info22

分からない場合は補足質問して下さい。
x≠0の特
2^(1/x)>0より
lim[x→±0] |f(x)|≦lim[x→±0] |x|/(1+0)=0
∴lim[x→±0] f(x)=0
またx=0に対してf(0)=0
いずれの値も0で一致するから、ゆえにx=0でf(x)は連続である。
ということですね。

＃少し連続の定義や極限の求め方の復習をしましょう。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)

回答No.3

aquarius_hiro

xyz0122さん、こんにちは。

xの正負で場合わけして、1/xがx→±0のときにどうなるかを考え、それに対して、2^{1/x}がどうなるかを考えればよいのですよ。

x=0.000001では、1/x=1000000ですよね。
すると、2^{1/x}=2^1000000 はすごく大きくなりますね？
x=-0.000001では、1/x=-1000000ですね。
すると、2^{1/x}=2^{-1000000}=1/2^1000000 は、すごく小さくなりますね？

以上のヒントで考え、どうしてもわからないときには以下を読んでください。

x<0で、x→0のとき、つまり x→-0のとき、
1/x<0で、1/x→-∞になりますね。
2^{-∞} = 1/2^{∞} = 0 ですよね。
ちゃんと書くと lim_{R→-∞}2^R = lim_{R→∞}1/2^R = 0

故に、f(x→-0) = -0/[1+0] = 0 です。
ちゃんと書くと lim_{x→-0}x/[1+2^{1/x}]=0 …(1)

x>0のときには、2^{1/x}→∞（x→+0）なので、
f(x→+0) = +0/[1+∞] = 0 になりますね。…(2)

(1),(2)と f(0)=0 より、f(x)は連続になりますね。

回答No.2

info22

＞＞連続の定義通りに、x=0における
＞＞limit[x→0+] f(x)=limit[x→0-] f(x)=f(0) (= 0)
＞＞を示せば良いでしょう。

＞ってあるのですが、これはグラフより成り立つ。
＞じゃ、やっぱりダメですかね？？

だめですね。試験なら×にされますよ。
x=0における右方極限値、左方極限値、関数値が一致することを示さないとだめですよ。
今回のケースはf(0)=0に3つの値が一致することを示して、連続であることを結論つけて下さい。