[マクローリン展開]{log(1+x)}^2

質問

-1<x<1 に対して、{log(1+x)}^2=log(1+x)・log(1+x)
のマクローリン展開を求めたいのですが、
\sum_{k=0}^{+∞} a_k x^k
の一般形が求められません。一般形を求められる方、
ぜひご教授いただければ幸いです。
一応、6次の項までは、
x^2-(1/2+1/2)x^3+(1/3+1/4+1/3)x^4-(1/4+1/6+1/6+1/4)x^5
+(1/5+1/8+1/9+1/8+1/5)x^6
と求められています。

以上、よろしくお願いいたします。

回答No.1

joggingman · ベストアンサー

項別微分、項別積分で考えるとよいのだと思います。

f(x)={log(x+1)}^2=Σ[n=1,∞]a(n)・x^n
微分して、
f'(x)=2{log(x+1)}/(x+1)=2{Σ[n=1,∞](x^n)/n}{Σ[m=0,∞](-1)^m・x^m}
=2{x-(1/2)x^2+(1/3)x^3-・・・}(1-x+x^2-x^3+・・・)
=2Σ[n=1,∞]{Σ[k=1,n](-1)^(k-1)・(1/k)・(-1)^(n-k)}x^n
=2Σ[n=1,∞](-1)^(n-1)・{1+(1/2)+・・・+(1/n)}x^n
積分して、
f(x)=2Σ[n=1,∞] {1/(n+1)}{(-1)^(n-1)}{1+(1/2)+・・・+(1/n)}x^(n+1)

1+(1/2)+・・・+(1/n)=Σ[k=1,n](1/k)　で表してもいいでしょう。

n=1で、2(1/2)x^2=x^2
n=2で、2(1/3)(-1)(1+1/2)x^3=-x^3
n=3で、2(1/4)(1+1/2+1/3)x^4=(11/12)x^4
n=4で、2(1/5)(-1)(1+1/2+1/3+1/4)x^5=(-5/6)x^5
・・・
で計算と一致しています。

お礼

ご回答ありがとうございます。
賢い求め方ですね。考えていたところ、項別微分はしなくても良さそうです。と言うのも、
\log(1+x)/(1+x)=x-(1+1/2)x^2+(1+1/2+1/3)x^3-...(-1< x <1)
を示し、この両辺を積分すれば左辺は{\log(1+x)}^2 /2 になるからです。
ただ、右辺の項別積分可能性につきましては、
一般項 p_n=(-1)^{n-1}\sum_{k=1}^n x^n は、開区間(-1,1)で連続ですが、
広義一様収束かどうかは微妙であるため
(∵ |p_n| < \sum_{k=1}^n 1/k で、この \sum_{k=1}^n 1/k は発散)
もう少し調べてみようと思います。
非常に参考になる求め方をありがとうございました。

補足

失礼しました。
「ベキ級数は、収束半径内では無限回項別微分・積分可能」
という定理がありましたので、特に調べる必要はありませんでした。

回答No.2

aquarius_hiro

こんにちは。

答えとしてはもう出ているのですが、微積しなくても、普通に求まると思うので、その方法も書いておきます。

[log(1+x)]^2
= [Σ_{k=1}^{∞} (-1)^{k+1}x^k/k]^2
= Σ_{k1=1}^{∞} (-1)^{k1+1}x^k1/k1・Σ_{k2=1}^{∞} (-1)^{k2+1}x^k2/k2
= Σ_{k=1}^{∞} a_k x^k

と書いたときに、x^k の係数は、k1+k2=k を満たすk1,k2の項の掛け算なので、まず、(-1)^k1×(-1)^k2=(-1)^k が共通の因子で、

　a_k = (-1)^{k}[ 1/(k-1)・1/1 + 1/(k-2)・1/2 + …
　　　　　　　　　　+ 1/2・1/(k-2) + 1/1・/(k-1) ]
　　　= (-1)^k Σ_{m=1}^{k-1} 1/[(k-m)m]

ところで、1/[(k-m)m] = 1/k・[1/(k-m) + 1/m] なので、

　a_k = (-1)^k / k Σ_{m=1}^{k-1} [1/(k-m) + 1/m]

ここで、Σ_{m=1}^{k-1} 1/(k-m) = Σ_{m=1}^{k-1} 1/m だから、

　a_k = 2 (-1)^k / k Σ_{m=1}^{k-1} 1/m

と求まります。

ANo.1さんのお答えと一致しています。

これ以上は簡単な形にならないと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。
変数変換の方法 k1, k2 -> k が素晴らしいですね。
これこそ、私が悩んでいて出来なかったものでした。
本当にありがとうございました。