数列

質問

Ａ1=√２,Ａn+1=√(２＋Ａn)の数列について(nは正の整数)
(１)Ａn＜３を示せ。

(２)Ａn+1－ＡnとＡn－Ａn-1は常に同符号であることを示し、それよりＡn＜Ａn+1を示せ。

(３)□に入る言葉と数値を答えよ。
　　数列Ａnは(１)(２)より□かつ□であるので収束する。その極限値は□である。
という問題なのですが、(３)の極限値は計算して求めることができましたが、(１)(２)の示し方がわかりません。
どなたかわかる方がいたら教えてください。

回答No.2

kumipapa · ベストアンサー

（１）は普通に帰納法でいいのでは？Ａ1＜３は成立。Ａｎ＜３と仮定してＡn+1=√(２＋Ａn）＜√５＜３
（２）もＡn+1－Ａn＞０を普通に帰納法で示せば良いのでは。（Ａ2－Ａ1＞０は成立。Ａn－Ａn-1＞０と仮定すると、(Ａn+1)^2－(Ａn)^2＝Ａn－Ａn-1 ＞０よりＡn+1－An ＞０ ）

＃１さんが言われているのもそういう事なんですけど、はっきり帰納法と打ち出した方が解答を見る人には分かりよいと思います。

お礼

参考になりました。ありがとうございます。

回答No.1

ringohatimitu

(1)について「任意のx＜3に対して√(2+x)＜3」を示せば初項の条件より従います。√(2+x)＜√(2+3)=√5＜3より明らかです。
(2)についてはA[n+1]^2-A[n]^2＝A[n]-A[n-1]と左辺の因数分解から従いますね。A[n]＞0に注意しましょう。