式がひとつあると変数をひとつ消すことができる

質問

今まで私は、
「連立方程式で、式がひとつあると、変数をひとつ消すことができる」
と憶えておりました。
また、これはだいたいの場合において妥当だと思います。
(線形従属などを除いて)

しかし、証明できるかというと、私はできません。
ぜんぶ一次関数なら線形代数の範囲だけれど、
高次関数や、三角関数や指数関数などが入ってくると、
難しくなると思います。

感覚的にはたしかに成り立つと思うのですよ。
しかしどうやって示していいか…。
(大学では数学をやりましたが、整数論の方面でした)

それで、質問ですが、ここで証明してくれとはいいません。

1)そういう定理が存在するか？　名前はついているか？
2)数学のどの分野に属するか。

を教えてください。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

f1,…,fnをR^(n+k)の原点Oの近傍で定義されたn個のC^r級の関数とし、fi(0)=0 (i=1,…n)とします。行列式

　|∂f1/∂x1…∂fn/∂x1|
　|　　　………　　　　 |
　|∂f1/∂xn… ∂fn/∂xn|

が原点で0でないとすると、k変数x[n+1],…,x[n+k]のn個の関数g1,…gnが存在して
　各gi(x[n+1],…,x[n+k])は原点の十分小さな近傍UでC^r級であり、
　U上でfi(g1(x[n+1],…,x[n+k]),…gn(x[n+1],…,x[n+k]),x[n+1],…,x[n+k])=0 が成り立つ。
という定理(陰関数定理)があります。すなわち、n個の条件からn変数x[1],…,x[n]が消去できることになります。証明は多様体論の大抵の教科書に載っています。

お礼

なるほど、多様体論ですか。
それは学校ではやらなかったのですが、
調べてみます。
ありがとうございました。