体積を求めたい

質問

仕事で、ある図形の体積を計算したいのですが・・・・
どのような形状かというと、円柱の角をカットするのですが、カットされたものが左右対称になるように、素直な向きでカットする場合の体積の求め方をお教えいただけないでしょうか。

回答No.4

info22

僕が質問から理解していた削ぎ落としは円柱の角を２ｍ幅、45度の傾斜で円柱の周囲に沿って1周分円柱の周囲に沿って削ぎ落とした場合の体積だと解釈して解答していました。
あなたが示された東大の問題からすると一箇所だけ45度傾斜の1つの平面で削ぎ落とした場合の体積を言っておられたよううですね。
質問の文章が正しく伝わっていなかったみたいでごめんなさいね。
ここでは立体図形を描いて質問ができませんので、どこかのHPの図を利用して質問するといいですね。
うまく質問の意図が伝わってきていなかったみたいで、補足で形状を補足していただけたらお望みの立体の体積を最初から示せたと思います。

でも、あなたの質問の削ぎ落とし部分の立体の体積が計算でき解決したとのことでよかったですね。
分からないことがあれば補足で質問してください。

回答No.3

info22

＞単純計算で削る範囲を直方体と想定しても２×２×（10.5×２）で84以下になり、実際は20～30くらいになると思っていたですが・・・・
この式は円周率πがかけてありませんので
84の3.14倍になるかと思います。
S＝2×2
円周の長さ２πR＝2×10.5×π
体積＝S×2πR＝2×2×2×10.5×π＝84×3.14 (立方ｍ)≒260(立方ｍ)

三角の削ぎ落としの正確な計算は123立方ｍなら計算はほぼ合っていると思いますね。

＃123立方ｍを20～30立方ｍと勘違いすれば、工事の見積もりに大きく狂いが生じます。作業時間、作業人数、残渣の運搬・廃棄などに影響してきますので計算は正確に行ったほうがいいですね。

補足

東大の入試問題に類似問題がありました。
http://www.shimanet.ed.jp/minami/link/homepage-naga005/grapes-001/enchusetudan-taiseki.pdf#search='%E5%86%86%E6%9F%B1%E3%82%92%E5%88%87%E6%96%AD'
これを応用したら、なんとか解けました。
このHPは数式の間違いが一部見られるので注意ですが、たったの13.5m3でした。
疲れたーー。

回答No.2

info22

＞この数式に必要なＳ，Ｌの値は、
＞Ｓ＝2×2÷2＝2
＞Ｌ＝10.5－重心Ｇと円周までの距離
＞　＝10.5－2/3
＞でいいのでしょうか？
それでいいですね。
後は次の式に代入すれば削ぎ落とした部分の体積が出ます。
＞V=2πL×S
＝(118/3)π [立方ｍ]
円周率π＝3.14159262643…は計算精度に必要な桁数使えばいいですね。

＃ずいぶん大きな構造物ですね。
＃何かコンクリートの構造物の体積のようなものの計算でしょうか。

お礼

計算すると123m3と非常に大きな数字になります。
見た目で円柱の端っこを少し削るだけなので、単純計算で削る範囲を直方体と想定しても２×２×（10.5×２）で84以下になり、実際は20～30くらいになると思っていたですが・・・・

この計算は、ある地下構造物の計算です。

回答No.1

info22

＞素直な向きでカットする場合
数学的な表現でないと意味が通じません。
円柱の中心軸を含む平面でカットした断面の長方形（幅は円柱の直径、高さは円柱の高さ）に対して円柱の半径、半径からどれだけ離れた位置からどれだけの角度で削ぎ落とすのか、など具体的に指定してください。
削ぎ落とした△形の部分の断面積をS、三角形の部分Ｐの重心Ｇと円柱の中心軸までの距離をＬとすると、削ぎ落とされた部分の体積Ｖは
V=2πL×S
となります。
Ｐの形状が△形であれば重心Ｇは簡単に求まると思います。

自分で答を作る積もりで取り組んで分かる所や自分でできる所は自分でやって補足に書いて下さい。

お礼

早速の回答をありがとうございます。
数学という学問からしばらく遠ざかっていたので、上手な表現ができませんでした。回答を見ていて、なるほどと思いました。

円柱の半径は10.5m
円柱の中心軸を含む平面でカットした断面の長方形のそぎ落とした三角形は二等辺三角形で、二辺が2mです。つまり、45度の角度でカットします。
この数式に必要なＳ，Ｌの値は、
Ｓ＝2×2÷2＝2
Ｌ＝10.5－重心Ｇと円周までの距離
　＝10.5－2/3
でいいのでしょうか？