円柱もどきの体積を計算で出したい。

質問

円柱の体積の計算方法は、判るのですが、円柱を寝かして片方だけを円を潰してしまって、線にしたような形の体積を求めたいのです。
ちょうどわさびのチューブの胴部分のような形です。
求め方をご存知の方、おられましたらよろしくお願い致します。

回答No.5

oyaoya65 · ベストアンサー

#2～#4です。
先ず形状モデルを確定しないと体積Vが求められません。
V=∫(0→L)π(a^2){1-x/L}dx=(πL/2)a^2
この場合の形状モデルは
底面は半径aの円、高さL、上部の線上の部分の長さは底面の直径と同じの2a、立体の正面から見た形状（正面図）は底辺2a,高さLの長方形、側面から見た形状（側面図）は底辺2a、高さLの二等辺三角形、水平に切断した断面は楕円面とします。

積分ですが
底面からの高さxの所の切断面の楕円の面積をS(x)とすれば体積Vは次式からでてきます。

V=∫[0→L]S(x)dx

この式は底面から高さxのところの断面S(x)に厚さdxを掛けて薄い円盤の体積S(x)dx求め、その円盤を底面x=0から一番高い所のx=Lまで加えあわせるのが上記積分の式ですね。

断面S(x)の求め方ですが、高さxの所では

断面の楕円面の楕円の式は
{(X^2)/b^2}+{(Y^2)/c^2}=1
ここでX軸を楕円の長半径方向（正面図の水平方向）、Y軸を短半径方向にとっています。

このとき、b=a.c=a{1-(x/L)}
楕円の面積の公式S(x)=πbc=π(a^2){1-(x/L)}

これを体積V=∫(0→L)S(x)dxの式に代入すれば体積の積分の式になります。

別の形状モデルとして、円筒の筒を立てて上だけをぺしゃんこに潰したものを考えて見ると、
底面の円の半径a,上の潰した辺の長さπa,底面から高さxのところの楕円面で
長半径b=a{1+x(π-1)/L}、短半径c=a{1-(x/L)}
となるから楕円面の断面面積は
S(x)=πbc=π(a^2){1+x(π-1)/L}{1-(x/L)}
体積Vは次の式で与えられます。
V=∫(0→L)S(x)dx
=∫(0→L)π(a^2){1+x(π-1)/L}{1-(x/L)}dx

お礼

ありがとうございます。
大変良くわかりました。

回答No.4

oyaoya65

#2,#3です。
たびたびすみません。
A#3の
＞#1です。
これは#2の誤りです。

追加ヒント
V=∫(0→L)π(a^2){1-x/L}dx

補足

ごめんなさい。
その積分式？の立てた根拠というか考え方も良かったら教えてください。

回答No.3

oyaoya65

#1です。
訂正です。
体積V=(πL/2)a^2

回答No.2

oyaoya65

質問者の分かる範囲での解答を示して質問するようにしてください。

ヒント
断面積（途中は楕円）をチューブの長さの範囲で積分する。
片方の円の半径をa,チューブの長さをLとすれば
体積V=(π/2)(aL)^2

補足

こちらも、積分計算ででた式ですか？
なるほど。この公式のような物に数値を入れれば体積が出るのですね？

回答No.1

phys

上手く形状が解らないのですが、
円錐の頂点が直線上になっているような
ものを想像すればいいのでしょうか。

つまり物体の高さがh、底面半径がrだとした場合、
高さlで切ったときの断面が、長軸r短軸r(h-l)/h
の楕円になっていると考えればいいのでしょうか。
だとすれば体積は

∫r*r*(h-l)/hdxを0からhまで積分すれば出ます。

解は、r*r*h/2ですね。

補足

ごめんなさい。積分計算はあまりよくわからないので、小学生でもわかる方法を教えていただけないでしょうか？