円柱の中に水を入れた時の体積

質問

仕事で体積を求めているのですが、壁にぶち当たっています。どうか助けて下さい。

内容は、
空洞の円柱の中に水を適当に入れ、横置きして、円柱の片方の端をちょっとだけ持ち上げます。
円柱の両端は蓋をして、水のレベルは両端の蓋に掛かっているとき（かまぼこの平たい面をちょっと斜めに切るようなイメージです）の体積算出方法を教えて下さい。

宜しくお願いします。

回答No.3

oyaoya65 · ベストアンサー

積分のための円柱の直径方向の切断面の水の占める断面積S(x)をもとめ、それをパイプの長さだけ積分して
水の体積V=∫[x1→x2] S(x)dx
では求まりますが、文字変数がおおくS(x)の式がxにおける水の深さkとパイプの内半径rとの関係が
0≦k≦r　の場合
と
r≦k≦2r の場合
で異なりますので、
パイプの両端の水の深さk1≦k2 が
１）0≦k1≦k2≦r の場合
２）r≦k1≦k2≦2r の場合
３）0≦k1≦r≦k2≦r の場合
で積分の式が変わってきます。式もかなり複雑になります。
例えば、
１）の場合
S(x)=(-((L*r +(k1-k2)*x)*√{-(((k1-k2)*x*(2*L*r+ (k1-k2)*x))/L^2)}) +
L*r^2*cos^(-1){1 +((k1-k2)*x)/(L*r)})/L
ここで、L：パイプの長さ、k1：浅い方の端の水の深さ,k2：深い方の水の深さ、r：パイプの半径、x：パイプを水の浅さがセロになるところまで延長した位置から測ったパイプの長さ方向の位置座標とします。

水の体積V=∫S(x)dx
xの積分範囲：
Lk1/(k2-k1)→Lk2/(k2-k1)
となります。
積分した結果の式はかなり複雑になります。
（文字変数ばかりの積分ですのでより複雑です。）

２）の場合
水の体積V=∫S(x)dx
S(x)=-(((L*r + (k1-k2)*x)*√{-(((k1-k2)*x*(2*L*r + (k1-k2)*x))/L^2)})/L) +
r^2*(π- cos^(-1){1 + ((k1-k2)*x)/(L*r)})
xの積分範囲：
Lk1/(k2-k1)→Lk2/(k2-k1)
(１）と同じです。）

３）の場合積分が2つに分かれます。
水の深さがrまでの範囲の積分V1とrより深い範囲の積分V2の和になります。
V=V1+V2
V1=∫S1(x)dx
S1(x)=(-((L*r +(k1-k2)*x)*√{-(((k1-k2)*x*(2*L*r + (k1-k2)*x))/L^2)}) +L*r^2*cos{1 + ((k1-k2)*x)/(L*r)})/L
xの積分範囲：
Lk1/(k2-k1)→Lr/(k2-k1)

V2=∫S2(x)dx
S2(x)=-(((L*r + (k1-k2)*x)*√{-(((k1-k2)*x*(2*L*r + (k1-k2)*x))/L^2)})/L) + r^2*(π-cos{1 + ((k1-k2)*x)/(L*r)})
xの積分範囲：
Lr/(k2-k1)→Lk2/(k2-k1)

積分をする元気があればおやりください。
相当大変です。

実用的な方法
私が工事等の担当者なら以下のような模型を使って求めます。（一度作っておけば便利な計測用具になります。）

透明なアクリル等の内半径r＝5 cm、長さ＝1m位のパイプの片方の箸を透明なアクリル板で蓋をし、他方の箸は外れるアクリル円盤で蓋をします。
このパイプ容器を長さ方向に1mのメジャーを貼り付けて置けきます。実際の埋設パイプの両端のパイプの水の深さが半径比で同じになるように、模型に水を満たし、それを垂直に立てれば、1メートルのパイプに貼り付けたメジャーで、水の量は％で正確に計測できます。パーセント値をP[％]とします。
模型の内部を水で満たした時の体積をVoとすれば
実際の埋設水路のパイプの中の水量Vは
V=Vo*P*100*L*a^2
で与えられます。
L：埋設水路のパイプの長さ[m]
a：埋設パイプの半径を模型パイプで割った比
Vo=π*(0.05^2)*1=π/400 [立方メートル
Pは模型で埋設水路の両端の水の深さを半径比で同じになるようにした時の模型パイプを垂直に立てた時の水位をcmで読み取った値（%値になる）

のようにすれば難しい計算などいらず、簡単な電卓の計算で、埋設パイプの水量が求められますね。

お礼

ありがとうございました。
高校時代の勉強不足がたたり、積分はとんと分かりませんが、この機に勉強してみようと思います。
模型はいい考えですね、作ってみます。
ありがとうございました。

回答No.2

maimait

No.1さんのような方法が思いつきますが、円柱か水管が傾いた状態で計測したいのでしょうか？まずは、カマボコ型の断面積（水の入っている部分）を求める方法はわかりますでしょうか？
円柱の内径（直径）をr　カマボコの高さをx　とすると、
断面積は(1/4)(r^2)arcsin((r-2h)/r)-(1/4)(r-2h)(r^2-(r-2h)^2)^(1/2)
扇形から三角形の部分を引いてカマボコ型を作ったイメージです。(hの範囲は0≦h≦r)

断面積がわかれば、あとは円柱の長さで積分すればいいのですね。ちょっと積分公式がわからないのでそこは他の人にお任せします。お仕事で使いなら、積分してくれる計算ソフトがあるのかな。擬似的に求めるなら、単位長さ毎に断面を出して足し合わせることで体積を求めるとかもありでしょうか？

お礼

ありがとうございます。
両端の断面積の求め方はなんとかわかりました。
積分がどうも分からないので、調べてみたら、積分の初歩の考え方になる「区分求積法」なるものがありました。それを使って、精度の高い近似値(分割数の問題みたいです）を求めて解にしました。
ありがとうございました。

回答No.1

Mathematica

イメージが明確に把握できませんが、仮に円柱の中の水以外の体積を求めるのであれば、円柱をどのように傾けようと、水の体積と円柱の体積は変わりませんから、円柱の体積-水の体積=求める体積　ですが？

補足

早速ありがとうございます。
求めたい体積は水自体の体積です。あらかじめ計測した水を入れるのではなく、入れた水の体積を計算で出したいのです。
宜しくお願いします。