双子のパラドックスが分からない

質問

兄が宇宙でＵターンのため加速するときに慣性系が崩れて地球ではすごく時間が経っていて、結局弟の方が年をとっているんですよね？

Ｕターンの加速を考えなかったら
兄→高速で地球から飛び立っていく
弟→高速で宇宙船から遠ざかっていく
となって帰ったときの年に差はなくなるハズなのに

どうしてＵターンの加速のときは上のようにならないんですか？
兄が加速するときは弟も兄に対して加速することにならないんですか？

一生懸命勉強してみましたが難しい数式ばかりで理解できません。お勧めの著書などもありましたら教えていただきたいです。
よろしくお願いいたします。

回答No.5

shiara · ベストアンサー

Ｕターンのときの兄と弟の立場の違いは、それぞれからどのように見えているのかを考えれば、それほど難しいことではありません。
　話を簡単にするために、Ｕターンではなく、減速、停止、反対方向への加速、という直線的な運動を考えましょう。地球から見れば、宇宙船の運動は、今述べた、減速、停止、反対方向への加速、という運動を行っていると観測されます。この加速度運動の原因は、宇宙船自体の推力によるものです。
　次に、宇宙船から地球の運動を見てみましょう。はじめ、地球は等速度で遠ざかっています。あるとき、地球の運動にブレーキがかかり、地球が遠ざかる速さが遅くなります。このとき、宇宙船が減速している訳です。宇宙船では、さらに、それまでとは違う状況が生じています。それは、重力が発生しているということです。その重力は、（宇宙船から見て）宇宙全体に作用しています。この重力は、宇宙船の減速による慣性力の別の見方をしたものですが、宇宙船にとっては、その重力場の中を地球が運動しているように観測されます。地球の動きは次第にゆっくりになり、やがて停止したと思うと、今度は落下を始めます。このような重力場の中で運動している物体での時間の進み方には、重力ポテンシャルによる効果が入ってきます。式で書くと、次のようなものになります。
Δτ＝Δt√(1-(v/c)^2+2φ/c^2)
ここで、vは物体の速さ、φは重力ポテンシャル、cは光速度、Δτは物体での時間間隔、Δtは観測者での時間間隔です。φ=0の時は、特殊相対性理論で知られている時間の遅れの式になります。
　宇宙船から見ると、重力ポテンシャルφがゼロでないため、時間の遅れは上の式で求める必要があります。上で述べた場合には、宇宙船から遠く離れた物体ほど、時間が速く経過するようになります。つまり、地球での時間の進み方が速くなります。
　重力が発生しているかどうかで、それぞれの立場が変わっており、それが時間の進み方にも影響しているということです。

お礼

数学の教授の前で発表しなければならないので式とか使いたかったんです！書いていただけてすごく助かります＾＾
ありがとうございます！

回答No.8

saaya_holic

慣性系(等速直線運動)に対して新たなエネルギーが加わって運動の速度・方向等が変化するときは兄と弟は「相対的」ではありません。
自ら加速(減速・方向転換含む)したほうだけが運動に変化が加わったことになります。

お礼

全部をひとつの理論で考えずに状態によって理論を使い分けるんですね。ありがとうございます。

回答No.7

Tacosan

手元の「相対論の正しい間違え方」という本では, 「兄が加速している間」のことをこんな感じで説明しています:
地上に静止している弟の立場: 「兄 (と兄の乗る宇宙船) のみ」が加速している
宇宙船で加速している兄の立場: 「自分 (と自分の乗る宇宙船) 以外」が加速している
つまり, 兄から見ると弟が加速しているのは間違いないんですが, 弟以外も加速しているように観測されます. その結果, 双方で観測されるローレンツ収縮の影響する範囲が変わってくるとか.

お礼

ありがとうございます！
ローレンツ収縮とか初めて聞く用語が出てきてびっくりしてます。勉強してみます！

回答No.6

sanori

＃１、＃２、＃３で回答した者です。
どうも私の認識は間違っていたようです。

お礼

そうなんですか？
間違っているようには思えないんですけど；；

回答No.4

noname#37180

双子のパラドックスは特殊相対性理論の問題です。地上にいる弟とロケットに乗って地球に帰ってきた兄の間で、一方からめれば同じように相手が相対運動をしているのだから時間の進行が異なるのはおかしいということですが、相対性理論での運動の相対性とは、相手に対して（方向を含めて）同じ速度で動いているときはどちらを基準にしてもよいということです。この場合、兄が途中で方向を変えているので相対性で言う「一つの基準」といえないので兄を基準をした議論は間違っており、弟を基準とすべきということのようです。従って、兄の方の時間の進行が遅れるということだと思います。詳しくは、図解雑学「時空図で理解する相対性理論」和田純夫著、ナツメ社、94ページ～100ページに分かりやすく解説してあります。

お礼

ありがとうございます＾＾またちょっと分かることができました！
近い内に図書館に行って、その本を探してみます！

回答No.3

sanori

＞＞＞
でも宇宙船が地球から離れて行ってるときに自分が宇宙船から離れて行ってると言われても何も感じないのに、どうして加速した時だけ話が変わるんですか？？

私も良く分かっていませんが、それが一般相対性理論だからです。
特殊相対性理論では加速度を扱っていなかったように思いますが、
一般相対性理論では、加速度を取り入れています。
私の古い記憶によれば、運動の加速度と重力加速度とは「同一人物」であるという仮定により、理論を構築したということだったと認識しております。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96

専門的な説明はできませんので、これにて退散・・・

お礼

相対性理論には二種類あって適応される理論が加速したときは違うんですね！！
しつこく聞いてすいませんでした＞＜
これから相対性理論について読み込んでみます！

本当にありがとうございました＾＾

回答No.2

sanori

＞＞＞
繰り返しになるんですが
なんで踏ん張っていると加速しないんですか？
兄が地球を離れるときに同様に弟も宇宙船から離れるなら
やっぱり加速するときも同じようにならないんですか？
その辺の理屈がわかりません

どこかの国でロケットが発射されたとき、あなたは加速感を感じますか？
感じませんよね。
スペースシャトルが発射するときも、パイロットは強い加速感を感じますが、地上の人は感じません。

地球の重心系で考えるのもよいですね。
ロケット発射前でも発射後でも、重心は、ほぼ地球の中心です。
飛んでいくほうだけが加速します。

お礼

ありがとうございます。
確かに加速感は感じませんね、でも宇宙船が地球から離れて行ってるときに自分が宇宙船から離れて行ってると言われても何も感じないのに、どうして加速した時だけ話が変わるんですか？？

回答No.1

sanori

＞＞　兄→高速で地球から飛び立っていく
＞＞　弟→高速で宇宙船から遠ざかっていく

兄は加速しますが、弟は重い地球上で踏ん張っているので、ほとんど加速しません。
ですから、出発の加速の時点で、すでに両者は対等でないのです。

Ｕターンのときも、兄だけが一方的に加速度を受けます。

宇宙旅行の経験が無いので、「経験者」で回答するのはやめておきます。（笑）

お礼

こんなに早く回答していただけると思ってませんでした！ありがとうございます！

＞＞兄は加速しますが、弟は重い地球上で踏ん張っているので、ほとんど加速しません。
ですから、出発の加速の時点で、すでに両者は対等でないのです。

繰り返しになるんですが
なんで踏ん張っていると加速しないんですか？
兄が地球を離れるときに同様に弟も宇宙船から離れるなら
やっぱり加速するときも同じようにならないんですか？

その辺の理屈がわかりません