株式 数理ファイナンスについての質問

質問

急な学校の課題で

次の問題を、数式を用いて、解いてください。
「Ａ社の株式を、時期をずらし３回に分けて購入する場面を考える。
このとき３回とも同じ額を支払って購入する戦略と、３回とも同じ株数を購入する戦略とでは、どちらの方が一株あたりの購入価格が低いか。
なお、株価は時間とともに変動するが、両戦略の購入時点は共通とする。」
（ヒント：２回に分けて購入する場合について考え、その結果を３回に分けた場合を適用せよ）

という課題が先生から出されたのですが普通にわかりません、
教えて下さい、お願いします。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

2回に分けても、3回に分けても考え方は一緒ですので、最初から３回の場合で考えてみます。
　各回の株価を、a1, a2, a3 とします。

(1)　同額（Ｍ円)ずつ３回購入する場合
　　（全体の購入金額）＝３Ｍ　円
　　（全体の株数）　　＝Ｍ／ａ1＋Ｍ／ａ2＋Ｍ／ａ3
　∴（一株あたりの購入価格）
　＝３Ｍ／（Ｍ／ａ1＋Ｍ／ａ2＋Ｍ／ａ3）
　＝3(1/a1+a2+a3)　　　・・・・・・・・・（Ａ）

　相加相乗平均より、x1,x2,x3>0のとき、
　　(x1+x2+x3)/3≧(x1・x2・x3)^(1/3)　　・・・・・　☆
　　（注：　左辺は、x1,x2,x3を掛けたものの3乗根をとるという意味です。）
が成り立ちますので、この式に x1=1/a1, x2=1/a2, x3=1/a3 を入れて計算しますと、
　　(1/a1+1/a2+1/a3)/3≧{ (1/a1)・(1/a2)・(1/a3) }^(1/3)
　　　　　　　　　　　＝1/(a1・a2・a3)^(1/3)
となります。ここで、この式の両辺は正ですので、逆数を取りますと、不等号の向きが反転して、
　　3/(1/a1+1/a2+1/a3)≦(a1・a2・a3)^(1/3)　　・・・・（Ｂ）
という結果を得ます。
　この式の左辺は、式（Ａ）そのものですので、式（Ｂ）の不等式の結果から、同額（Ｍ円)ずつ３回購入した場合の一株あたりの購入価格は、(a1・a2・a3)^(1/3)　より低いことが分かります。

(2)　３回とも同じ株数（ｎ株）を購入する場合
　　（全体の購入金額）＝ａ1・ｎ＋ａ2・ｎ＋ａ3・ｎ　円
　　（全体の株数）　　＝３ｎ
　∴（一株あたりの購入価格）
　＝（ａ1・ｎ＋ａ2・ｎ＋ａ3・ｎ）／（３ｎ）
　＝(a1+a2+a3)/3
　≧(a1・a2・a3)^(1/3)　　←　上記☆の相加相乗平均の関係から

　従って、３回とも同じ株数（ｎ株）を購入する場合の一株あたりの購入価格は、(a1・a2・a3)^(1/3)　より高いことが分かります。

　以上の結果から、同額（Ｍ円)ずつ３回購入した場合の方が、一株あたりの購入価格が低いことが分かります。

お礼

凄い！！！
恐らく完璧な回答だと思います！
しかも夜中の4時頃にこれを回答してくださるなんて…
本当にありがとうございます！
お陰で課題の方、何とかなりそうです、助かりました！