確率についての質問

質問

０、１、２、３、５の書かれたカードがありました。これを使って4桁の数字を作るとき、3の倍数、15の倍数の数字になる確率を求めよ。（重複不可）という問題でした。

なんだよ、簡単じゃん。と思い、樹形図を書いてやっていこうと思い下2桁までを見てやっていたのですが、もっと複雑になってくることに気づき、樹形図では何時間もかかってしまう気がしました。
何か良い方法があったら教えてください。お願いします！！

回答No.6

springside · ベストアンサー

１．３の倍数

「３の倍数」⇔「各桁の数の合計が３の倍数」ですから、0,1,2,3,5から４つの数字を取ったとき、その合計が３の倍数になるようにするためには、「0,1,3,5」、「0,1,2,3」の２つの場合があります。それぞれの４つの数字からできる４桁の数を数えればいいですね。

２．１５の倍数

「１５の倍数」
⇔「３の倍数」かつ「５の倍数」
⇔「各桁の数の合計が３の倍数」かつ「１の位が０又は５」
なので、「0,1,3,5」、「0,1,2,3」の２つの場合において、１の位が０になる場合の数と５になる場合の数を数えればいいですね。

回答No.9

quads

問題の表現が不適切ですね。
４桁の数字の作り方が指定されていません。
意思を持ってすれば確率は100%です。
確率でなく、与題の条件で４桁の数字を作った場合に、３の倍数及び15の倍数になるのは何通りあるか。で答えます。

まず、４桁の数字は Ｐ(5,4) - 4! = 96 通り作れる。
そのうち３の倍数であるのは[1,2,3,0]と[1,3,5,0]を使った時だけ。
このとき４桁の数字はそれぞれ 4! - 3! = 18 通り作れる。
■与題の条件で４桁の数字を作った場合に３の倍数となるのは96通りのうち36通り。

自然数xが15の倍数 ⇔ 自然数xが３の倍数 and 自然数xが５の倍数
なので上記で求めたうち、５の倍数であるものが答え。
５の倍数であるためのには、下一桁が０か５であればよい。
[1,2,3,0]で条件を満たすのは、abc0というときなので 3! = 6 通り。
[1,3,5,0]で条件を満たすのは、abc0というときと、abc5であり0bc5でないときなので 3! + 3! - 2! = 10 通り。
■与題の条件で４桁の数字を作った場合に15の倍数となるのは96通りのうち16通り。

●ちなみに与題の条件で４桁の数字を作った場合に５の倍数となるのは96通りのうち42通り。

回答No.8

Piazzolla

（１）５つの数字から4つ取り出す、順列は、
5P4＝120通り。

（２）最上位桁が0123のような０の数字を除く。
120－4P3＝120－24＝96通り。

（３）３で割れる数字というのは、各桁を足したときに3で割れればよい。
例えば、1230は、１＋２＋３＋０＝６で、３で割れる。
そうなる数字の組み合わせは、
（1,2,3,0）、（0,1,3,5）の2種類のみ。

（1,2,3,0）で作れる4桁の数字から、先頭が０となるものを引く。
4P4-3P3＝24-6＝18通り。

（0,1,3,5）も同様に、18通り。

（４）15の倍数で、なおかつ3で割れる数字の組み合わせは、
(1,2,3,0）と（0,1,3,5）の2種類のみ。
(1,2,3,0）は、1230,1320,2130,2310,3120,3210の6通り。
（0,1,3,5）は、1035,1305,3015,3105および、
1350,1530,3150,3510,5130,5310の10通り。

（５）3の倍数が36通り。15の倍数が16通り。
ん？#7さんと合わないので、自信なし。。。

回答No.7

housyasei-usagi

とりあえず５の倍数から考えます。
（３の倍数はその次に）

（１）５個から４個とるのは５Ｐ４で５×４×３×２＝１２０通りです。
（２）この中で５で割れる数は末尾が０か５の場合。
したがって２／５の確率なので，４８通り。
（２）しかし，０で始まる数字は３桁なので，１／５は該当せず。従い，２４通りは該当しないので，全部で４桁の数字は１２０－２４＝９６通り。
（３）０で始まった場合３桁になるのは，０以外の４つから３桁の数字を作る場合なので，４Ｃ３＝４×３×２＝２４通り。この３桁の数値で５で割れるのは末尾が５の時だけなので１／４の確率。従い６通り。
（４）４８－６＝４２通りが，４桁で５で割れる。
（５）確率は４２／９６＝０．４３７５＝４３．７５％

回答No.5

shkwta

3の倍数を作ろうと思ったら、0,1,2,3か、0,1,3,5か、どちらかのカードの組み合わせしかありません。それぞれ、4桁の数は18通りずつできます。さらに、15の倍数を作るには、末尾が0か5でないといけません。だから、[1,2,3]0 の形か、[1,3,5]0 の形か、[0,1,3]5の形のどれかです。[ ]内は入れ替えられることを示します。それぞれ、6,6,4通りあります。あとは簡単でしょう。

回答No.4

marth

それぞれのカードが何枚あるか分かりませんので、答えは出せませんが（書いてあっても答えは出しませんけど）、考え方のヒントをお出しします。

３の倍数を作るときには、数を構成する数字を単純に足した和が３の倍数になれば、その数は３で割り切れるという法則があります。（証明は簡単なので、ご自身でやってみてください。）
例えば、１２３５で考えると、１＋２＋３＋５＝１１で、３で割り切れないため、３の倍数ではありません。（実際、２余ります。：実は、１１を３で割った余りと同じになります。）

さて、１５の倍数ですが、１５＝３×５ですから、３の倍数かつ５の倍数であることが必要になります。
１の位が限定されますね。

回答No.3

kissmyknife

まず、３の倍数の特徴はすべての位の数１つ１つを足すと３の倍数になります。４桁の数を使うなら最初に0は来ないですよね。ということは１〇〇〇の形で３の倍数にすればよいから２-３-０、０-３-５の順列を考えればいいですよね。（１を使わないと３の倍数にならないみたいですね）
１５の倍数は３の倍数かつ５の倍数ですから３の倍数のうち，一の位が0か５であればよい。
あとは自分でちょっと考えて見てくださいね

回答No.2

pigeon17

樹形図ではなくて、下２桁の上につく２桁を考えましょう。千の位にはどの数字なら入りますか？そしたら、百の位は？樹形図と同じ考えですが、書かなくても掛け算で答えは出せます。千に２つ、百に３つとしたら、２×３です。わかりますか？

回答No.1

shkwta

1023から5321まで小さい順に全部書いても96個ですから、何時間もかからないと思います。

あと、３の倍数なら４枚のカードを足して３で割り切れなければならないし、１５の倍数なら３の倍数であることに加えて、１の位が０か５であることで区別できます。これを利用すれば、全部書き出さなくても計算できるでしょう。