不等式の場合わけについて

質問

x^2-4x=3|x-2|を解け。と言う問題で
ｘ ≧ ２ のとき、　｜ｘ－２｜＝ ｘ－２　なので、　
ｘ2－４ｘ ＝ ３（ ｘ－２ ）
ｘ ＜ ２ のとき、　｜ｘ－２｜＝ －ｘ＋２　なので、　ｘ2－４ｘ ＝ ３（ －ｘ＋２ ）

と場合わけしますよね？
もうひとつ不等式の問題で、
|2x-x^2|≦xというもんだいでは-x≦2x-x^2≦xとなっていました。
その場合、先ほどのように2x-x^2≧0のとき2x-x^2≦x
2x-x^2＜０のとき-(2x-x^2)≦xとすることはできないのでしょうか？

回答No.3

kkkk2222 · ベストアンサー

前半
＞＞と場合わけしますよね。
ＯＫです。

此の問題は、解がｘ＝６、－２と、判りよいですが、√が消えぬ場合や、x^2-4x＞3|x-2|　のように不等式の場合があり、
ｙ＝x^2-4x
ｙ＝3|x-2|
の二つグラフを描くのが好ましいです。
本問題では、両方が　ｘ＝２を対称軸と判明するので、確認に絶好です。
ーーー
後半、
＞＞|2x-x^2|≦x
＞＞-x≦2x-x^2≦x　（＃１）
＞＞2x-x^2≧0のとき2x-x^2≦x・・・（＃２）

（＃２）は当然ＯＫです。
ただ、（＃１）の方が＜場合分け不要＞のため、ＳＰＥＥＤでは勝ります。

（＃１）として良い件については、当時かなり調査をしてＯＫと判明しましたが、今は証明はできません。貴殿のＴＥＸＴには、＜証明＞が記載されて居る様で、＜教えて欲しい＞くらいです。

（＃１）であっても、（＃２）にであっても、
ｙ＝|2x-x^2|
ｙ＝x
のグラフは、（確認には）不可欠の様です。
解いていない、のですが、
グラフからは、１点と、あるひとつ範囲になると読み取れます。

補足

お礼遅くなって申し訳ございませんでした。
おかげさまで理解できることができました！
ありがとうございました！

回答No.4

noname#47975

その場合、先ほどのように2x-x^2≧0のとき2x-x^2≦x
2x-x^2＜０のとき-(2x-x^2)≦xとすることはできないのでしょうか？

2x-x^2が負であれば、-x以上であり-----(a)、
2x-x^2が正であれば、x以下である------(b)。
(a)より、-x ≦ (2x-x^2) ≦ 0
(b)より、0 ≦ 2x-x^2 ≦ x
となるわけですから、結局は(a),(b)を纏めると、
-x≦ (2x-x^2) ≦ xとなるわけですね．．。
よって、その考え方で問題はありません。

そもそも、-x≦ (2x-x^2) ≦ xのように定められる背景としては、
|2x-x^2|がx以下となるような範囲は、
2x-x^2は-xからxまでの数字であればすべて絶対値はx以下である
という事です。
質問者さんの場合は、2x-x^2が正の場合はx以下、負の場合は
-x以下、であれば絶対値はx以下であるといった具合に、
正・負の場合に分けて考えただけであり、
もちろん結果としては同じになります。

お礼

お礼遅くなってしまって申し訳ございませんでした。
みなさまの回答で絶対値にたいして抵抗が少なくなったようなきがします！ありがとうございました！

回答No.2

info22

＞と場合わけしますよね？
それで合ってます。

＞|2x-x^2|≦xというもんだいでは-x≦2x-x^2≦x
手抜きはいけません。
xによる場合分け下で解いて、最後に場合分けを合体するようにあいましょう。
(１)2x-x^2＞0の場合、つまりx(x-2)＜0、0＜x＜2の場合
2x-x^2≦x
(x^2)-x≧0
x(x-1)≧0
場合の条件からx＞0だからx-1≧0, x≧1
場合の条件から
1≦x＜2
(２)2x-x^2＜0の場合、つまりx(x-2)＞０、x＜0 or x＞2の場合
(x^2)-2x≦x
x(x-3)≦0
0≦x≦3
場合の条件から
2＜x≦3
(３)2x-x^2=x(2-x)=0の場合、つまりx=0またはx=2の場合
0≦x
場合の条件から
x=0,x=2
(1),(2),(3)合わせると,答えは
x=0, 1≦x≦3

お礼

ご返事遅くなって申し訳ございませんでした。
詳しい説明でとてもわかりやすかったです！ありがとうございました！

回答No.1

Mr_Holland

＞その場合、先ほどのように2x-x^2≧0のとき2x-x^2≦x
＞2x-x^2＜０のとき-(2x-x^2)≦xとすることはできないのでしょうか？　

　できますよ。結果は同じになりますが。
　　2x-x^2≧0のとき、2x-x^2≦x　　・・・（A)
　　2x-x^2＜０のとき、-(2x-x^2)≦x
　　　　　　　　　　∴-x≦2x-x^2　・・・（B)
　不等式の条件は（A)かつ（B)なので、
　　-x≦2x-x^2≦x　　　・・・・・・・・（C)
となります。この不等式では、真ん中を抜いた不等式からｘが０以上であることが保証されます。
　　-x≦x　∴x≧0
　そのため、（C)の不等式は、2x-x^2≧0のときはその上限を定め、2x-x^2＜０のときはその下限を定めていて、質問者さんのように分解して考えられたものと同じ関係を表しています。

お礼

お礼遅くなって申し訳ございませんでした！
なんとか絶対値の式がわかってきましたぁ♪ありがとうございます！