空間平均について

質問

cos＾2Xの空間平均は
∫dY∫cos＾2X sinX dX /∫dY∫sinX dX=1/3
(最初のdYの積分区間は2π～0、dXの積分区間はπ～0)

と、ある本に書いてありました。
計算をすると確かに1/3となりました。

sin＾2Xcos＾2Yとsin＾2Xsin＾2Yについても同様な結果になるとも書いてありました。
しかしX(=θ)とY(=φ)が入ってくるとどのように計算したらよいか分かりません。
また空間平均とは加重平均と同じ意味なのでしょうか？
空間平均の意味もよくわかりません。

ご存知の方がいらっしゃいましたら以上2点に関して教えていただけたら幸いです。
また初めての投稿でして、不手際がありましたらすいません。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

空間平均の関数ｆを加重ｗとみなせば、加重平均と類似したものと捉えることができます。

　空間平均とは、ある関数f(x,y,z）をある領域で積分した結果をその領域の体積で割ることです。つまり、

　　空間平均＝∫f(x,y,z)dxdydz／∫dxdydz

とすることです。ただし、ここでは極座標系を使っていますので、次のようになります。

　　空間平均＝∫f(r,θ,φ)r^2・sinθdrdθdφ／∫r^2・sinθdrdθdφ
　（ちなみに、領域が半径ａの球の場合、分母はその体積の4πa^3/3になります。）

　この問題では、関数がθとφにだけ依存しｒには無関係なので、次のように簡略化されます。

　　空間平均＝∫f(θ,φ)sinθdθdφ／∫sinθdθdφ＝1/2・∫f(θ,φ)sinθdθdφ

　以下、各問題の式を記述しますと、つぎのようになります。

(1)　f(θ,φ)＝cos^2 θのとき
　　空間平均＝1/2・∫cos^2 θsinθdθdφ＝1/2・∫dφ∫cos^2 θsinθdθ

(2)　f(θ,φ)＝sin^2 θ・cos^2 φのとき
　　空間平均＝1/2・∫sin^2 θ・cos^2 φ・sinθdθdφ＝
1/2・∫cos^2 φdφ∫sin^3 θdθ

(3)　f(θ,φ)＝sin^2 θ・sin^2 φのとき
　　空間平均＝1/2・∫sin^2 θ・sin^2 φ・sinθdθdφ＝
1/2・∫sin^2 φdφ∫sin^3 θdθ

お礼

Mr_Holland様

ご回答ありがとうございます。
大変丁寧に回答していただいて助かりました。
1/2・∫f(θ,φ)sinθdθdφになる部分が私の勉強不足で分かりませんでしたが、(1)～(3)の計算結果が1/3になるか挑戦してみます。
本当にありがとうございました。

回答No.2

Mr_Holland

＃１です。
　お礼をありがとうございます。

＞1/2・∫f(θ,φ)sinθdθdφになる部分が私の勉強不足で分かりませんでしたが、

　ごめんなさい。誤って記してしまいました。
　正しくは次の通りです。

　　空間平均＝∫f(θ,φ)sinθdθdφ／∫sinθdθdφ＝1/4π・∫f(θ,φ)sinθdθdφ

　以下、1/2の係数は1/4πの誤りです。
　お詫びして訂正します。

お礼

Mr_Hollandさま

度々ご親切な回答ありがとうございました。
1/4πの件はっきり分かりました。
すべてで1/3になりました。

今後とも何かありましたら、
よろしくお取り計らいの程お願いいたします。