不定不等式

質問

正の整数x,y,zについて

1/x + 1/y + 1/z ＜ 1

が成り立っている。

1/x + 1/y + 1/z

のとりうる値を全て求めよ。

答はわかっているのですが、うまく求めることができません。
対称式になっているので、

0＜x≦y≦z

つまり

0＜ 1/z ≦ 1/y ≦ 1/x

と設定しても一般性を失わないと思い、この不等式を利用して、

z ＞ 3

を導いたのですが、これだけでは答えが無限に出てきてしまいます(><)
そもそも与えられた条件では答が無数にある気がしてなりません。
どなたか範囲の絞り方がわかる方教えて下さい!お願いします。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

#1です。

不等号が逆の場合を考えてみたのですが、
1/x + 1/y + 1/z ＞ 1

x＝ 1のときを考えてみると、
(左辺)＝ 1+ 1/y+ 1/zとなり、y, zが正の整数であれば常に (左辺)＞ 1となります。

答えも気になりますが、他に条件があったりしませんか？

お礼

条件はこれだけなんです(><)

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

＞1/x + 1/y + 1/z ＜ 1
不等号の向きって、これであっていますか？？
逆のような気がしたのですが・・・

この向きのとおりであれば、
1/3+ 1/3+ 1/3＝ 1となることから考えると、
1/3+ 1/3+ 1/4, 1/3+ 1/3+ 1/5, 1/3+ 1/3+ 1/6,・・・・
1/3+ 1/4+ 1/4, 1/3+ 1/4+ 1/5, 1/3+ 1/4+ 1/6, ・・・・

と無限に出てくると思います。

ちなみに、「答」はどうなっているのでしょうか？

お礼

答は
41/42 19/20/ 9/10 11/12 5/6 3/4
です。

まさかの誤植でしょうか？
先生からもらったプリントなので、可能性はありますね(><)

ああ…全く疑いを持たずに３時間考えてしまいました。