数学というより算数の問題です

質問

最終的に全部で100kgの砂を必要とする作業をするのですが
その砂の回収率（再利用率）を75％とした場合、何kgの砂を
用意したら良いのか、計算式で表すとどうなりますか？
例えば、50kg使用すると37.5kgがまたその作業に使える
ため、その時点ですでに87.5kg使った事になり、更に37.5kg
の75％を再利用する、その繰り返しの結果、トータルで100kg
になるようにするには、最初何kgの砂を用意したらよいかという
質問ですがどなたか教えていただけないでしょうか？
低レベルな質問ですみません。
中学校しか出てない私には難題です。
よろしくお願いします。

回答No.4

m_ik_e · ベストアンサー

答えはもう出ているようなんで、暇でしたら数学的な解法をお読み下さい。

A〔g〕の砂を一回使用して次に行ったら
A＋A×0.75〔g〕使えますよね
次は
A＋A×0.75＋(A×0.75)×0.75
書き換える（Aでくくる）と
A×(1+0.75+0.75^2)←0.75の二乗

繰り返すと
A×(1+0.75+0.75^2+0.75^3+0.75^4+0.75^5+…)
と、３乗、４乗と永遠に増えていきます。
これを１００にしたいんですよね

またちょっと書き換えて
A×(1+　0.75　+　0.75＾2　+0.75＾3　+　…0.75^(n-1))
n-1乗まで、というのは、項の数が全部でn個だからと思ってください。
再利用回数がn-1だから、最初を含めてn回砂を使ったという感じで。

このカッコの中を、等比数列の和といいます。
項が0.75づつかけながら増えていくでしょう。
これ事態は算数ですが、これ以降はきっちり高校数学です。

カッコ全体をＳnとします
Ｓn = 1 + 0.75 + 0.75^2 + 0.75＾3 +‥ ‥+ 0.75^(n-1)
両辺に1/4をかけて
Ｓn×0.75=0.75 + 0.75^2 + 0.75＾3 +‥ ‥+ 0.75^(n-1)+ 30.75＾n
上の式から下の式を引いてください。
右側のかぶっている項を消しまくって…

Ｓn－Ｓn×0.75＝1 － 0.75＾n

です。整理すると、
Ｓn×(1－0.75)＝1 － 0.75＾n

Ｓn＝（1－0.75^n）/（1-0.75）
　　＝（1－0.75^n）/（0.25）
　　＝（1－0.75^n）×4
さて、永遠に砂を拾うのを繰り返したらnは無限大です。
0.75の無限大乗。想像つきますか？
高校数学では普通に扱いますが、０になるんです。
電卓で0.75をかけ続けてみてください。ちっちゃくなって、そのうちほぼ０になりませんか？つまり
Ｓn＝（1－0）×4
　 ＝4
にほとんど近くなります。

ここで最初に戻って、
A×Ｓn＝100にしたい
→A=25です

回答No.3

ringouri

もし実際的な問題に関係しているのであれば、最大限の作業回数が決まっていないと意味無いのでは？
つまり、本来は有限項の級数和の問題でないとおかしい様な気がしますが...(?)

作業を無限に繰り返すと仮定して求められた25kgは本来の正解じゃないと思います。No.1さんも指摘されているように、有限作業では、100kgに届かないのですから。
まあ、1g未満になれば無視しても構わないとか、単に無限級数の和を求める問題を頭の中ででっち上げただけ、とかのアバウトな出題者ならば、適当に対応しておくしかないですが...

こんな問題を解かされている質問者さん、大変ですね。ご苦労様です。

回答No.2

angrox

数列の和の問題ですね。作業を無限に繰り返せば25kgの砂が必要です。
ちなみに10回この作業したときの砂の量の求め方は4×砂の量×(1-(3/4を10回かけたもの)）です。20回なら4×砂の量×(1-(3/4を20回かけたもの)）です。

お礼

すばやい回答ありがとうございました。
本当に助かりました。
勉強しときゃよかった(^.^)

回答No.1

fujimaru00

無限に繰り返すなら２５ｋｇ
ただし３０回目に回収出来る砂は６ｇ(kgではないｗ）ですぞ！
ちなみに３０回目でも９９．９８ｋｇになっています。

お礼

ありがとうございます。
こんな私でも皆様のお役に立てることといったら
パソコンの事ぐらいかな
システム構築、ネットワーク、ハードウェア構成に関することetc…