波長の問題について

質問

波長の問題なんですが、
両端を固定した長さ5mのつなに定常波を作る。このとき波長が3番目に短い波（第三高調波）の波長を求めよ。
とあったのですが、3番目に短い波なんて求められるのですか？？
3倍振動を求めろという問題の間違いのような気もするのですが・・

その他にも
クラウンガラスを赤い光と青い光が透過するときには、
屈折率が異なることが知られている。すなわち，それぞれの場合の屈折率は1．52
1.53である。この場合，ガラス中の光速はどれほど違うか計算せよ。
という問題があったのですが、そもそもクラウンガラスって何ですか？？

かなり低レベルな質問でごめんなさい。。

回答No.1

Umada · ベストアンサー

ご質問の内容から推測するに、波動について勉強されているところで疑問が生じたことと思います。

まず最初の問題から。3倍振動と3倍高調波は、振動の伝搬する速度(例えば音なら音速)が周波数に依存しない範囲であれば同じことです。ピンと張った綱で綱の長さのオーダーの波長であれば通常、振動伝搬速度の波長依存性は無視されますから、3倍振動の波長を求めよというのと本質的に同じ問題でありMaybe_miyukiさんのお考えで大丈夫です。
既にご承知のことと思いますのでお節介ではありますが、

[両端を固定した綱」

○──────○

[基本波]
　　　＿＿
　　／　　＼　
○／　　　　＼○

[第二次高調波](2倍振動)
　　＿　
○／　＼　　　○
　　　　＼　／
　　　　　￣

[第三次高調波](3倍振動)

○／＼　　／＼○
　　　＼／

となるだけのことです。従って波長は10/3≒3.33mということになります。

後半のクラウンガラスの詳細については下記の参考URLをご覧頂くとして、まあガラスの一種だと思って下さい。
物質の屈折率nは「その媒体中の光速と、真空中の速度の比」として定義されます。真空中の光速をcとして、物質中の光速をc'とするなら
　c=n c'　　(1)
の関係があります。一般に物質中の光速は真空中より遅くなります。
nは波長(あるいは振動数ν)に依存しますから、nとc'をνの関数として
　c=n(ν) c'(ν)　　(2)
などと書けば分かりやすくなります。nが振動数に依存して変化するのは別に特殊な現象ではありませんから「クラウンガラス」の名前に惑わされませんよう。
一応ここまでで与えられた問題は解くことができます。すなわち問題の媒質中で、青い光に対しては
　c'(ν)=c/n(ν) =2.9979×10^8[m/s]/1.53=1.959×10^8[m/s]　　(3)
赤い光に対しては
　c'(ν)=c/n(ν) =2.9979×10^8[m/s]/1.52=1.972×10^8[m/s]　　(4)
だけ違う、ということになります。
なおご承知の通り波長λは
　λ=c'/ν　　(3)
で与えられますが、ここでは赤い光・青い光の具体的な振動数が与えられていませんので、これだけでは波長は求められません。

"Optical Materials"
http://www.op.titech.ac.jp/lab/Take-Ishi/html/ki/hg/et/om/omm.html

お礼

どうも有り難うございます。
問題を理解する事ができ、また解く事ができました。
大変ご丁寧な回答のおかけでまた１つ知識を得る事ができました！！

回答No.2

noname#3307

「両端を固定した」というところがポイントです。
弦の両端を固定した波は必ず両端が節になります（要するにつぼんだ状態）。
あとは作図するのが一番楽だと思います。
一本の線に上の条件で山を書くと一番少なくて山一つですよね。これが最短波長です。これで線の長さは同じで山の数を増やして書いてみてください。三つ山を書くときが３番目に短いなみです。
このときの「山二つ分の線の長さ」が波長λです（ちなみに３，３３・・・・ｃｍかな？）。
・・・文章で説明は難しいですね。もし理解されたら分かると思うんですが、３番目に短い波っていうのは3倍振動と同じ意味ですが前者のほうが分かりやすい言い方のはずです（運動の本質から言えば）。

あと、クラウンガラスについてですが問題文に「すなわち、」ってあるでしょ？
この「すなわち」の直後から問題をみたらどうでしょうか。「すなわち」の前の部分なんかどうでもいいことが書いてあることが多いんです。これもそう。
問題をこなせば分かると思います。
単純な, 速さ１/速さ２＝屈折率２/屈折率１
の式に代入する問題です。

お礼

どうも有り難うございます。
問題を正しく理解すると言う事がまず肝心ですね。
大変勉強になりました！！