数列

質問

a(1)=1,a(n＋1)=(an-9)/(an-5)　　(n=1,2,3…）で定められた数列{an}がある。このときa(100)を求める問題で
x=(x-9)/(x-5)を解くとx=3なので
両辺から3を引き
an+1-3=(-2an+6)/(an-5)
とし，an-3=bnとおけば
bn+1=-2bn/(bn-2)
からどのように計算をすればいいのか分かりません

回答No.2

kkkk2222 · ベストアンサー

特性解が１つしか使用してないので何でと思って居る内に時間が経ってしまいました。
計算して見ると重解なんですね。
２解の場合は、もっと綺麗にでるはずで、
重解のときは別パターンになるようです。

A(1)=1
A(n+1)=【A(n)-9】/【A(n)-5】
特性方程式
x=(x-9)/(x-5)
x(x-5)=x-9
(x^2)-5x=x-9
(x^2)-6x+9=0
x=3

次が此の解法
A(n+1)-3=【A(n)-9】/【A(n)-5】-3
A(n+1)-3=-2【A(n)-3】/【A(n)-5】

B(n)=A(n)-3
初期条件も求めておきます。
B(1)=A(1)-3=1-3=-2

B(n+1)=-2*B(n)/B(n)-2
ここで、別の技巧（ひっくりかえす）を使用となります。

1/B(n+1)=(-1/2)【B(n)-2】/B(n)
1/B(n+1)=(-1/2)+1/B(n)
1/B(n)は等差数列と判明します。

1/B(n)=1/B(1)+(n-1)(-1/2)
1/B(1)=(-1/2)
1/B(n)=(-1/2)+(n-1)(-1/2)
1/B(n)=(-1/2)n=-n/2

B(n)=-2/n

A(n)=B(n)+3
よって、A(n)=3-(2/n)　ということですか。
Ａ(100)＝３－（２／１００）＝・・・

お礼

返事が遅くなってすいません
どうもありがとうございました。

回答No.1

R_Earl

bn+1=-2bn/(bn-2)の両辺を逆数にすれば

1 / bn+1 = -(1/2){(bn - 2)/bn}
1 / bn+1 = -(1/2){1 - (2/bn)}

ここで1/bn = cnと置けば、

cn+1 = -(1/2)(1 - 2cn)
∴cn+1 = cn - 1/2

となります。
あとはcnを求めてそこからbnを求めて、anを求めます。