微分積分について

質問

以前、簡単にいうと微分は引き算で積分は足し算だときいたことがあります。
積分は区分求積の考えから足し算だと分かるんですが、微分の引き算ってのが理解できません分かりやすく教えて下さい

回答No.8

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

No.5 の回答で
> これを寄せ集めた ?v Δt の極限値(分割を細かくという意味)が
> 積分∫v dt です．
とあったのは
「これを寄せ集めた Σ v Δt の極限値(分割を細かくという意味)が
積分∫v dt です」
と訂正してください．
Σのはずが？になってしまいました(化けた？)

さて「微分」ですが，手元の大学初年級の微分積分学のテキストを何冊か
見てみました．
どの本も，微分は dy などを意味するという記述で，
dy/dx (あるいは y')を微分としている本は１つもありません．
dy/dx の方は，微分係数，微分商，導関数，などど書かれています．
高校のテキストは今手元にありませんのでちょっと分かりません．
どなたか，調べてくだされば幸いです．
高校のテキストも，上のようにちゃんと区別していると思うんですがね～．

「微分」「微分する(した)」はよく似ていますから，
本来 「sin x を微分したものが cos x」というべきところを
「sin x の微分が cos x」と言ってしまいそうな気もします．
英語では，微分が differential，微分するが differentiate，
これも似ていますね．

私も，講義でうっかり「sin x の微分が cos x だから...」
なんて言っていそうな気がします．

お礼

大学の教科書にはdyが微分となっているんですか、やっぱりこれが正しい定義なんですかね。勉強になりました、また、「微分」と「微分する」は違うようですね。

回答No.2

ymmasayan

すでに、専門家の方のお答えが出ていますので、気が引けますが。

区分求積法は掛算したものを足し算していますね。
同じ考え方をすれば、微分は引き算したもの同士の割算ですよね。

つまり、掛算と割算、足し算と引き算がそれぞれ対応していると考えていいと思います。

補足

そういわれてみればそうですね、積分はかけ算したものを足してますね。
では、正確には積分は「かけ算と足し算」微分は「割算と引き算」ですかね？

回答No.1

pen2san

１）車が走り始め加速し、
２）一定速度で走行し、
３）ブレーキをかけて停車する
ケースを思い浮かべて下さい。

次に横軸に時間、縦軸に速度を描いたグラフを描きます。この様なグラフを描く時通常は折れ線を使いますね。　　
　　　＿＿＿＿＿　　
　　／　　　　　￥
　／　　　　　　　￥
／　　　　　　　　　￥

このグラフを棒グラフで表すとどうなるでしょうか

　　　＿＿＿＿＿
　　＿　　　　　＿
　＿　　　　　　　＿
＿　　　　　　　　　＿

この棒グラフの棒の一本一本を一つ前の棒と比較します。

変化＝（今の棒の長さ）－（一つ前の棒の長さ）

加速中は変化が正の値となり、一定走行中はゼロ、減速中は負の値となります。
この変化が即ち加速度で、加速中は加速度がプラス、低速運転中は加速度ゼロ、減速中は加速度がマイナスになります。これは日常の体験と一致していますね。

ここで、変化の値を微分値Δと呼びます。
一般に
Δ＝f(x) - f(x-1)
と言う数式で表しますが、f(x)を現在の速度、f(x-1）を一つ前の速度と考えれば先程の例と一致します。
一般には数学的手法で時間軸を無限に細かくして計算します。

つまり、微分は引き算となります。

補足

ありがとうございます。でも微分の定義(式)って
f(x+a)-f(x)/a のaを極限ゼロまで近づけたものですよね？
なので、微分は「引き算と割算」っていうのが正しいと思うんですけど、積分は「足し算」だけで十分だと思いますけど、