微分と積分

質問

自分は家庭教師をしていて、微分と積分を説明しているのですが、いまいち理解してもらえません。ネット等などをみていると微分と積分は何気ない日常の中や、専門の技術者の間では日常的に使われているというフレーズを見ました。実際どんな場面で使われているのかわかる方いたら教えてください。

回答No.7

kamoshika333

下記の回答にあるように、あらゆる分野のシミュレーション・応力解析などに微分積分は必須です。
機械を作るなら材料力学、建物を建てるなら構造解析、気象、地震、洪水などのシミュレーション解析などなど。

正直なところ高校レベルの微分積分では、ほとんど実務に結びつくことはありません。ただその知識がなければ、大学で学ぶ偏微分方程式など、まったく理解できないと思います。

全ての理系科目がそうだと思いますが、理系大学・理系職に付くためには、絶対に避けられない科目であることを理解させ我慢してもらうしかないのではないでしょうか？
個人的には、球の体積を求める公式が、積分で求められることを知ったとき、ぐっと理解度が高まった記憶があります。

回答No.6

toboke

自然界のものは、過去どうであったか現在どうかがわかっていて、未来どうなるか予測する場合がよくあります。典型的なものは天気予報です。
このような現象は数式としては微分方程式で表すことができます。つまり、初期値として過去または現在の観測値、そして時間当たりの変化量（これが微分値ですね）があり、これを時間で積分して解くわけです。数式で解くのは大変ですが、コンピュータを用いた数値計算の場合には、微分や積分の一番初めに出てくる長方形や台形の近似の原理でシコシコと計算を積み上げていくわけです。刻みが小さいほど正確になると習ったと思いますが、大体はその通りで、初期値の数（天気予報の場合でいうと観測地点の数ですね）と時間の刻みを何時間（何分？）にするかで精度が変わります。刻みを小さくすると正確になってきますが計算時間が多くかかることになります。
微分方程式が解けない場合（積分できない場合）または解くのが非常に難しい場合というのは結構あり、そのような場合でもコンピュータによる数値積分というのは割合簡単にできます。しかし式を解いて積分できれば、その後の計算時間は圧倒的に短くなり、かつ結果は正確になりますので、式が解けるに越したことはないです。

実際の天気予報には微分方程式を解くのが使われているのかどうかは知りませんが、多分何かそのようなものは使われているのではないでしょうか。

なお、初期値がわずかに違うと、長時間積分したときに結果が大きく変わる場合が知られており、カオスと呼ばれています。

私の場合には、拡散方程式という微分方程式を解くのに数値積分を用いました。拡散現象というのはたとえば水の中で氷砂糖が溶ける場合の溶け方を計算するようなものです。初めは早いが氷砂糖の周りが砂糖水になってくるとだんだんと溶けるスピードが落ちてきます。実際に計算したのはもっと単純な（一方向のみの）系ですが。

回答No.5

wandermountain

私も高校のとき、イメージがつかめなくて苦労しました。
私のような頭の悪い人には、微積分を使わなくても解ける問題を微積分を使って解くのがわかりやすいと思います。
質問の回答とは言えないかもしれませんが、例えば、三角形の面積とか。さらに体積にするとか。

回答No.4

luune21

ITの分野でしたら、なんといってもシミュレーションです。

時間とともに量的変化があるもので、解のある微分方程式さえたてることができれば、何でも予測可能だといえるでしょう。
株価や為替の変動予測、会社の業績予測、桜の開花予測など他にもたくさんあると思います。
また、微分係数をだすことで、その変動の傾向もわかります。100回試験を受けた生徒の実力は平均点で判断できるでしょうが、その生徒の成績が結局伸びているのかダウンしているのか？　そして、大学受験時の点数予測はどうなるのか？　ということですね。係数が正であれば加速度、負であれば減速度^^;がわかります。逆に積分すれば、グロスの量(総売上高や総経費)が予想できます。

さらに、1本のロープで囲んだときの最大の面積というような最適化問題として、生産現場でのベルトコンベアや従業員の数の判断、スーパーでの時間帯別のレジ数。消費者の満足度を判断する限界効用や消費者の好みを判断するための無差別曲線問題など、経済分野でも多くの応用があります。

参考URL：

http://www.hirax.net/dekirukana7/bijin/

回答No.3

silverbear

積分したものを積分した回数で割ると平均になります。
電子回路ですと、ローパスフィルタ（低域通過回路）になります。高周波を通さない回路です。アンプにすると「低音だけを通す回路」です。
画像処理ですと、ボカシの類が積分ですね。

微分を見ると加速度が分かります。
電子回路ですとハイパスフィルタ（高域通過回路）になります。低周波を通さない回路です。アンプにすると「高音だけを通す回路」です。
画像処理ですと、輪郭を強調の類が積分ですね。

お礼

具体的な例ありがとうございます。音や画像なんかにも使われているんですね！！！参考になりました！！！

回答No.2

Deerhunter

高校生に対して地学分野での応用例ということでしょうか？

お礼

地形学にかぎらずですねぇ。微積分を習ったばっかしの高校生が興味を持てるようなとっかかりてきなものがあればうれしいのですが。。。

回答No.1

usgs

いま全体像が明らかにされつつある
スマトラ沖地震などの破断面や地震波形などの解析など
たとえば地震学に利用されているのでは
ないでしょうか。。

お礼

あぁ！！そんな話聞いたことありますね。自分でちょっと調べてみます！ありがとうございました。