範囲について

質問

定数aを含む不等式(x＾2)＋(4-a)x＋4-2a<0…(1)につういて
(1)を満たす整数がちょうど５個になるaの範囲の求めかたについて教えてください。
まず。、(1)の解を求めると
a>0のとき　-2<x<a-2
a=0のとき　解なし
a<0のときa-2<x<-2となります
これはどのように考えるのでしょうか？

回答No.2

debut · ベストアンサー

整数が５個なので、
ａ＞０のとき、－２＜ｘ＜ａ－２の中に整数
－１，０，１，２，３があるためには
ａ－２が３よりもほんのちょっと大きくなる
ところから４になるまではいいことがわかり
ます。
－２＜ｘ＜(３よりちょっと大きい数）が
考えられる一番狭い範囲で、－２＜ｘ＜４が
考えられる一番広い範囲になります。（ａ－２
は４をちょっとでも超えてはだめ）
結局、まとめれば３＜ａ－２≦４であればいい
ということです。

ａ＝０は明らかに５個もたないから、ａ＜０
の場合も同じように、－３，－４，－５，－６，
－７となるには－８≦ａ－２＜－７であればいい
ということになります。

お礼

どうもありがとうございました。
理解できました

回答No.4

leap_day

こんにちは

x^2 +(4-a)x + 4-2a の式を変形すると
x^2 + 4x -ax + 4 -2a = (x^2 + 4x + 4) + (-ax -2a)
=(x+2)^2 -a(x+2)
=(x+2)(x+2-a)

つまりこのグラフはx軸に(0,-2)(0,a-2)で交わることになります

整数の解が5個になるということはこの2点間の距離が5より大きく6以下ということになります

p.s.何故こうなるかというと
例えば整数部が0,1,2,3,4だと整数は5個ですが与式＜0ですので両端0,4は解に含まれていません。
したがって個数は3個となります(3 < 距離 ≦ 4)
同様に0,1,2,3,4,5では個数は4個(4 < 距離 ≦ 5)
0,1,2,3,4,5,6では個数は5個(5 < 距離 ≦ 6)
0,1,2,3,4,5,6,7では6個(6 < 距離 ≦ 7)
となるからです

したがって
-2 < a-2　つまり　a > 0 のとき
5 < (a-2)-(-2) ≦ 6
5 < a ≦ 6

-2 = a-2　つまり　a = 0 のとき
グラフはx軸と1点で交わってしまうので解は存在しない

-2 > a-2　つまり　a < 0 のとき
5 < (-2) - (a-2) ≦6
-6 ≦ a < -5

回答No.3

kkkk2222

【Ｘー（－２）】【Ｘー（Ａ－２）】＜０
＃１　Ａ＞０のとき　－２＜Ｘ＜Ａ－２
＃２　Ａ＝０のとき　解なし
＃３　Ａ＜０のとき　Ａ－２＜Ｘ＜ー２

＃１　Ａ＞０のとき　－２＜Ｘ＜Ａ－２

ー２　－１　　０　　１　　２　　３　Ａ－２
ー○ー●ー●－●ー●ー●ー○ーーー

一見正しそうだが、間違いの元凶となる。
３≦Ａ－２＜４
５≦Ａ＜６　これも正しそうだが、間違いの式
Ａ＝５のとき　【Ｘー（－２）】【Ｘー３】＜０
となり誤りＡ≠５
Ａ＝６のとき　【Ｘー（－２）】【Ｘー４】＜０
となり誤りＡ＝６は可
修正して、
（５＜Ａ≦６）
ーーー
＃３　Ａ＜０のとき　Ａ－２＜Ｘ＜ー２

同様に、
Ａ－２　－７　－６－５　－４－３　－２　
ーー○ー●ー●－●ー●ー●ー○ーーー
－８＜Ａ－２≦－７　
－６＜Ａ≦－５
修正して、
（－６≦Ａ＜－５）
ーーー
＃１＃２＃３より、
－６≦Ａ＜－５、　５＜Ａ≦６

回答No.1

sanori

(x＾2)＋(4-a)x＋4-2a = 0
の解は、
x=-4 or -4+2a
(x-(-4))(x-(4+2a)) < 0
つまり、y = (x＾2)＋(4-a)x＋4-2a のグラフは
点（－４，０）は必ず通ります。

a>0 の場合は、-4 < x < -4+2a の範囲に整数解が５個
a<0 の場合は、-4+2a < x < -4 の範囲に整数解が５個

a>0 のとき、整数解は左から、-3, -2, -1, 0, 1 の５つ
２は入らない。
ということは、
　1 ≦ -4+2a < 2　　かつ　a > 0　　　（あ）

a<0 のとき、整数解は右から、-5, -6, -7, -8, -9 の５つ
－１０は入らない
ということは、
　-10 < -4+2a ≦ -9　かつ　a < 0　　　（い）

「（あ）または（い）」が答えになります。