サイコロの確率問題

質問

【問題】
1個のサイコロを3回投げる。何回目かに回の番号と同じ目がでる確率を求めよ。

【解答】
１回目に１が出る確率
２回目に２が出る確率
３回目に３が出る確率
１＆２回目に１＆２が出る確率
２＆３回目に２＆３が出る確率
１＆２＆回目に１＆２＆３が出る確率

で９１／２１６となる。

【質問】
１回目で１が出る確率　１／６
２回目で２が出る確率　１／６
３回目で３が出る確率　１／６

よって１／６＋１／６＋１／６＝１／２としてはいけない理由はなぜでしょうか？なんかよさそうな気がしてしまうのですが。ちなみに【解答】は理解できます。

回答No.3

sanori · ベストアンサー

こういう風に考えましょう。

「３回目までに、回数と目が一致したら勝ち」というゲーム。

１回目で１（確率１／６）が出たら、そこでゲーム終了。
２回目に行く確率は５／６。
２回目で２（確率５／６×１／６）が出たら、そこでゲーム終了。
３回目に行く確率は、５／６×５／６
３回目で３が出る確率は、５／６×５／６×１／６。

勝ちになる確率は、
１回目で勝ちが決まる確率　＋　２回目で勝ちが決まる確率　＋　３回目で勝ちが決まる確率
　＝　１／６ ＋ ５／６×１／６ ＋ ５／６×５／６×１／６
　＝　（１×６^2 ＋ ５×６ ＋ ５×５×１）／６^3
　＝　（３６＋３０＋２５）／２１６

「そこでゲーム終了」の表現は、「勝ちはもう決まったけど、３回目までやる。」という解釈でも良いですよ。
１回目で勝ちが決まったら、２回目で２が出ても、もはや関係無し。
つまり、
１／６＋１／６＋１／６＝１／２
では、「関係無しの」部分で重複カウントになっているわけです。

お礼

なるほど！こう考えると分かりやすいですね！！！

ありがとうございました。

回答No.6

noname#47975

この問題においては、余事象の考え方を用いて解くのが普通です。

１回目～３回目までどの回においても回の番号とは異なる目がでる
の余事象を求めれば良いだけです。

各回において、回の番号以外の目が出る確率は５／６になるので、

１ー（５／６）＾３　＝　９１／２１６になります。

お礼

ご回答ありがとうございました。そうですよね。余事象が便利ですね。

【質問】
１回目で１が出る確率　１／６
２回目で２が出る確率　１／６
３回目で３が出る確率　１／６

のほうはいかがでしょうか？

回答No.5

kubo6840

場合の数で考えてみます。

(1回目の数,2回目の数,3回目の数)として
(1,1,1) (1,1,2) (1,1,3) ・・・・・・(6,6,6) と216通りあるのですが
1回目に1が出る確率1/6は、この216通りのうち36通りが1回目に1が出てます。
2回目に2、3回目に3が出る場合の数も同様に36通りです。

しかしこれを単純に足して(36+36+36)/216としてはいけません
というのは、この1回目に1が出る36通りには一部2回目に2、3回目に3が出るものも含まれてるからです。重複して数えてしまったものを後から引いたり、引きすぎてしまったものを足したりする必要があるのです。

具体的に書き出すのに3回では大変でしょうから、2回などにして数えてみると分かり易いかもしれません。

回答No.4

sanori

再びお邪魔します。
補足に沿って再び回答します。

あ）１回目に１が出る確率　１／６
い）２回目に２が出る確率　１／６
う）３回目に３が出る確率　１／６
え）１＆２回目に１＆２が出る確率　１／６^2
お）２＆３回目に２＆３が出る確率　１／６^2
か）１＆３回目に２＆３が出る確率　１／６^2
き）１＆２＆３回目に１＆２＆３が出る確率　１／６^3

（き）は、（え）、（お）、（か）の重複部分ですね。
（え）、（お）、（か）は、（あ）、（い）、（う）の重複部分ですね。

求める確率は、
あ ＋ い ＋ う －（え ＋ お ＋ か － き）
　＝ 1/6 + 1/6 + 1/6 - (1/6^2 + 1/6^2 + 1/6^2 - 1/6^3)
　＝ 1/2 - 1/12 + 1/216
　＝ 108/216 - 18/216 + 1/216

回答No.2

pyutaz

１／６は、１～６までの限定されない数字になるから。

１回目で□が出る確率　１／６
２回目で□が出る確率　１／６
３回目で□が出る確率　１／６

だと、□の中は、１～６までのどの数字が入ってもよくなってしまう。
必要な条件は、回の番号と同じ目が出る確率、である。
どれかが出ればいいのとは違う。

だから、正解ではないし、全部を足す意味も全然分からない。

回答No.1

yuu111

こんばんは

足すときは注意！
例として適切かは分かりませんが、
「１日目にはＡさんＢさんＣさんが来た。２日目はＢさんＣさんＤさんが来た。３日目にはＣさんＤさんＥさんが来た。全部で何人来た？」
は、３＋３＋３＝９人ではありませんよね？

失礼します

お礼

さっそくの回答ありがとうございました。おっしゃるとおり、「９人」ではないですね。理解できます。

しかしこの例が、この確率の問題にどう結びつくのかが、クリアになりません。。。。。

なんとなく「独立か否か」ということが関わってきそうな気はするのですが…

補足

【解答】が少々間違ってましたね。。。。

１回目に１が出る確率
２回目に２が出る確率
３回目に３が出る確率
１＆２回目に１＆２が出る確率
２＆３回目に２＆３が出る確率
１＆３回目に２＆３が出る確率
１＆２＆３回目に１＆２＆３が出る確率　　　　　ですね。