微分について質問させてください。

質問

先ほど、微分について質問させていただいた者です。
正しい表記が分かりましたので、もう一度記載し直させていただきます。
正しい表記は、
y=(1/(α√(2π))*e^((-(x-m)^2)/(2α^2))
になるそうです。。

先ほどの質問は削除させていただきます。
よろしくお願いいたします。

下記が、先ほどの質問になります。
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こんばんは。
この問題がまったく分からないのですが、
詳しく解説していただけませんでしょうか。

私の学力レベルは、センターの2次関数ぐらいまでが大体解けるレベルです。
微分に関しては、ほとんどわかりません。
よろしくお願いします。

問題：この関数を二階微分せよ。

y=(1/√2π*α)*e 《 -{(x-m)^2/2α^2} 》

表記の仕方がわからなかったので、少し説明させてください。
* は掛け算の表記として使っています。
^ は二乗の表記として使っています。

さらに、最初の括弧内の分数のあとの e ですが、
本題の表記では、括弧はなく、1/√2π*α という分数のあとに、e が付いています。
1/√2π*α 掛ける e という感じです。。
（分母の√2π*αにあるαは、ルートの外になります。）

スレ１の表記の仕方に、括弧を使い分子分母を他の項目と区別できるように表現する、
というものがあったので、間違っているかも知れませんが使ってみました。

また、同様に、数式後半の《 》内の数式も、{ } 内は分数のため、
分数の全体に掛かる - を区別するために、
{ }を用いて見ました。

最後に、数式後半の《 》内に表記してある数式ですが、
本題では小さく右上に書いてあります。
(1/√2π*α)*e という分数の右上に小さく表記してあります。。
（表記の仕方が分からなかったので、《 》内に納めて書きました。）

詳しく解説していただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.3

m_ik_e · ベストアンサー

y=(1/(α√(2π))*e^((-(x-m)^2)/(2α^2))
αとmは定数でいいんですね？
基礎から書いてみます。細かすぎて失礼でしたらすみません。

e（ネイピア数）が底の指数は、微分しても同じになります。
(e^a)'=e^a　　（アポストロフィ一つで１階を意味してます）
ただし、aの部分がxを含むので、合成関数として考えます。これは、
f'(x)=f'(a(x))*a'(x)
として、関数を一度文字に置き換える方法です。

まず、e^((-(x-m)^2)/(2α^2))についての微分をします（e^■と表記させて下さい）
(e^■)'=e^■*(■)'
=e^■*(-1/2α^2)*(x^2-2mx+m^2)'
=e^■*(-1/2α^2)*(2x-2m)
=e^■*(-1/α^2)*(x-m)　　　　　　------(1)
です。
式全体に戻ると、
y=(1/(α√(2π))*e^■
定数×eの■乗です。
見難いのでy=(1/(α√(2π))*e^■=□*e^■にします。□の中は定数なんで、微分しようが積分しようが影響ありません。
１階導関数は
y'=(□*e^■)'
　=□*(e^■)'
ここで、さっきの(1)の式を入れると、
y'=□*e^■*(-1/α^2)*(x-m)
　=□*(-1/α^2)　*　e^■*(x-m) ------(2)
前半は定数、後半は関数の積です。
これで、１階は終了です

２階に行く前に、関数の積の微分法をチェックします。
(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)
(f*g)'=f'*g + f*g'
です。かたっぽづつ微分して足し合わせます。

先ほどの後半部分
{e^■*(x-m)}'=(e^■)'*(x-m)　+　e^■*(x-m)'
もう一度(1)式を使って、
{e^■*(x-m)}'=e^■*(-1/α^2)*(x-m)*(x-m)
　　　　　　　　　　　　　+　e^■* x
=e^■*{(-1/α^2)*(x-m)^2 + x}

(2)式の後半に戻して、

y''=□*(-1/α^2)　*　{e^■*(x-m)}'
=□*(-1/α^2)　*　 e^■*{(-1/α^2)*(x-m)^2 + x}
=(1/(α√(2π))*(-1/α^2)　*　 e^■*{(-1/α^2)*(x-m)^2 + x}

となります。（あと適当に数値整理して下さい）

・・・流れはこんな感じで。
資料を探すなら、チャートの見開き公式一覧あたりで事足りると思います。

お礼

非常に分かりやすく丁寧な解答ありがとうございます。
（分からないなりにも、とても分かりやすいのではないかな？と感じました；；）

＞基礎から書いてみます。細かすぎて失礼でしたらすみません。
とんでもないです。
基礎から書いていただいても、まだまだ理解できなかったりします；

明日、本屋へ行って参考書を眺めながら、
GW中に少しずつ理解してみたいと思います。

引き続き、解説やアドバイスがありましたらよろしくお願いいたします。
（おそらく、いただいた解答で完全に解決していると思われるのですが。。）

回答No.5

komimasaH

元の式に、次の式をかけたものが、２階微分になります。
(-2(x-m)^2)/(α^2))+((x-m)^4)/(α^4))
過程は必要ないかもしれませんが簡単に。
e(f(x))として、これを二回微分すると
｛f ''+ f '^2}e(f(x))になります。上の式は
｛f ''+ f '^2}にあたります。
f ''とf 'の計算は簡単ですので、お確かめください。

回答No.4

debut

先ほどと同じ式かと思いますが・・・
y=(1/(α√(2π))*e^((-(x-m)^2)/(2α^2))
のように解釈して答えてました。

1/(α√(2π)=k、(-(x-m)^2)/(2α^2)=f(x)
として、合成関数の微分で微分すると、
y '=kf '(x)*e^{f(x)}
続けて、積の微分で微分すれば
y ''=kf ''(x)*e^{f(x)}+kf '(x)*(e^{f(x)})'
　　=kf ''(x)*e^{f(x)}+kf '(x)*(f '(x)*e^{f(x)})
　　=kf ''(x)*e^{f(x)}+k{f '(x)}^2*e^{f(x)}
ke^{f(x)}が共通因数なので、因数分解して
y ''=(ke^{f(x)})*(f ''(x)+{f '(x)}^2)・・・☆

f(x)=-((x-m)^2)/(2α^2))=-(x^2-2mx+m^2)/(2α^2)
なので、
f '(x)=-(2x-2m)/(2α^2)=-2(x-m)/(2α^2)=-(x-m)/(α^2)
f ''(x)=-1/(α^2)
すると、
f ''(x)+{f '(x)}^2
=-1/(α^2)+(x-m)^2/(α^4)
=-(α^2)/(α^4)+(x^2-2mx+m^2)/(α^4)
=(x^2-2mx+m^2-α^2)/(α^4)
これと、ｋ=1/(α√(2π)、f(x)=(-(x-m)^2)/(2α^2)
を☆式に代入して出来上がり。

お礼

丁寧にご回答頂きありがとうございます。

休み中に本屋へ出向き、本を一冊買ってみました。
頂いた回答を参考にしながら、
出来るところまで、仕組みを理解してみたいと思います。

どうもありがとうございました。

回答No.2

Kules

No1のKulesです。
そういう事情でしたか…
では解答…の前にいくつか。
・e^xの形、つまりオイラー数の指数関数はexp(x)で表記します。読み方は「エクスポーネンシャルx」です。
・1/√2π*α　のαは分母ですよね？
以上のことをふまえた上で
y'=-(x-m)/(√2π*α^3)・exp{-(x-m)^2/2α^2}
y''=(1/√2π*α^5){(x-m)^2-α^2}・exp{-(x-m)^2/2α^2}
こんな感じですかね…係数がややこしいのでちょっと自信ないですが。

お礼

わがままなリクエストで申し訳ありませんでした。

1/√2π*α　のαは分母です。
また、αはルートの外に出ています。

丁寧な解説ありがとうございます。
（ほとんど意味はわかっていなかったりしますが・・；；）

明日、本屋へ行って参考書を眺めながら、
GW中に少しずつ理解してみたいと思います。

引き続き、解説がありましたらよろしくお願いいたします。

回答No.1

Kules

残念ながら…
この問題を解くには
数IIIの微分の中の
・指数関数の微分
・合成関数の微分
・関数の積で表された関数の微分
これらがわからなければ解けませんし、逆にこれがわかれば
ただの計算問題です。
頑張ってください！

お礼

お返事ありがとうございます。

社会人になって、この問題に触れる事になりました。
今後継続的に数学に触れる訳ではなく、この一問のみなので、
出来ることであれば解答を頂き、
それに沿って自分でもう一度で解いてみるという手段を選びたく質問させて頂きました。

一問の為に微分を一から勉強することや、
教科書を購入するということをしたくないのが本音だったりしますが。。
（わがままで申し訳ありません。。）

ただ、興味はあるので、明日本屋へ行って教科書を少し眺めてみます。

もし可能であれば、解答をご教授願えませんでしょうか。
よろしくお願いいたします。