ベクトルの1次独立

質問

（1,0,1,0,2）、（0,1,0,1,2）、（0,0,1,1,2）、（1,1,2,2,6）のベクトルが一次独立かという問題を図書館で調べていたのですが考え方がよくわかりません。途中で詰まってしまいました。
教えてください。

回答No.4

banakona · ベストアンサー

一次独立でないことは、その中の１ベクトルが他の幾つか（１つでもいい）のベクトルの定数倍の和であることを示せばいいのですが、本問は、５次元のベクトルが４個なので「こんなの調べていられるか!」と思って次のようにしました（実は＃３さんが言うように本問の場合は超簡単なのですが、気付かなかったT_T）。

４つのベクトルの定数倍の和で表せないベクトルを1個もってきて、与えられた４つのベクトルと共に並べて５次の行列を作る。その行列式が０なら与えられたベクトルは一次独立でない、０でないなら一次独立です。

持ってくるベクトルなのですが、与えられた４つのベクトルの第５成分がいずれも０ではないので、第５成分を０にし、他の成分の少なくとも一つを非ゼロにすればＯＫです。非ゼロにする成分ですが、４つのベクトルの中で値が複雑な成分にすると行列式の計算が簡単になります。第１成分と第２成分には０が２個ずつあるので第３成分か第４成分を非ゼロにすればいいでしょう。

そこで、持ってくるベクトルを（0,0,0,1,0）とすると、行列は
　　１　０　１　０　２　
　　０　１　０　１　２　
　　０　０　１　１　２　
　　１　１　２　２　６　
　　０　０　０　１　０　
となります。これの行列式を求めるとゼロになるので、与えられた４つのベクトルは一次独立ではありません。
※この行列の転置行列を作ると、４つのベクトルが一次独立でないことは殆ど明らかですね・・・　なぜ気付かなかったんだろう・・・

お礼

参考になりましたご回答感謝いたします。

回答No.3

kkkk2222

質問文の意味が
＃１　この問題を解きたい。
＃２　一次独立・1次従属の意味を知りたい。

＃１ならば
（1,0,1,0,2）=A（1,1,2,2,6）+B（0,0,1,1,2）+C（0,1,0,1,2）
とでも置いて、Ａ、Ｂ、Ｃが解を持つならば
1次従属＝一次独立でない。
解を持もたないならば、一次独立
試しに解いて見ましたが容易く解けてＡ，Ｂ、Ｃは解を持ちますので（一次独立でない）といえます。
簡単に解ける点から逆推論して、
一次独立・1次従属の＜確認＞の問題といえます。

＃２ならば＃１の意味がわからぬはずで、多少やっかいではありますが、

＃２２　概念（ＩＭＡＧＥ）だけで良ければ、

２次元（平面上）のベクトルで、
２つのベクトルで全平面が表せるなら、一次独立。
表せぬなら、1次従属。

＃２２２　証明が必要なら

３次元までは容易で、
４次元以上は、確か＜背理法＞だったような。
ただ、一次独立・1次従属・線型結合・次元dimVは重要ですので、
大学一年の＜代数幾何のＴＥＸＴ＞にｎ次元の証明が、最初に記載されています。
ＮＥＴ検索した所、貴殿の求めるような説明は意外にもみつかりませんでした。以下のＵＲＬも多分ダメとは思います。
ともかく＜一次独立・線型結合・ベクトル・線型独立＞などで検索してみて下さい。判り良いＳＩＴＥがあるはずです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%B5%90%E5%90%88

お礼

アドバイスありがとうございました、早速調べてみます。

回答No.2

jamf0421

基本変形により階数（Rank)を出されれば、それが一次独立のベクトルの最大個数ではないですか？

回答No.1

noname#69788

それぞれのベクトルが他のベクトルの定数倍で表せないことを示せばいいと思います。