電気力線と電場

質問

電気力線の定義に
「単位面積を垂直に貫く電気力線の本数をその点での電場の強さとする」
っていうのがありますよね？
これをみて疑問に思ったのは、ある点での電場を考える際
どこの単位面積を考えればいいのかわからないということです
つまり点の電場を考えたいのだから面積など考えようもないのではないか
と思いました
もっと言い換えれば単位面積を貫く電気力線の本数をその点での電場の強さとする
という定義の中の「その点」ってどの点なのかわかりません
この点についてご教授お願いします

回答No.5

Quarks · ベストアンサー

>どこの単位面積を考えればいいのか

イエイエ、"単位面積の面"など探さなくても良いのです。実際には、極々小さな面を取り上げるのです。

>点の電場を考えたいのだから面積など考えようもない

そのとおりです。でも、厳密に"点"でなくても良いのです。極々小さな面積の平面なら、ほぼ、点だと見なせます。数学的に厳密に言えば、面積が０になる極限を考えれば良いということです。

「指定された点」（たとえばＰ点としましょう）を通る電気力線を思い浮かべましょう。
取り敢えず、Ｐ点で、電気力線がどのような向きに延びているかを思い浮かべるのです。
次に、Ｐ点そのものを含み、電気力線が延びる方向に垂直で、極々小さな平面を考えるのです。面積（ΔSとしましょう)はできるだけ小さい方が良いですね。その面内では電気力線は均一に分布していると見なせるくらい小さな面積を考えるのです。
電気力線は、このΔSの面を何本か貫いていることでしょう。たとえばｎ（本）だったとしましょう。

ここで、こう考えるのです。ΔSの面をｎ本貫いているなら、単位面積（たとえば１[m^2]）当たりに換算したら、電気力線の本数（Ｎ）はいくらになるだろうか？
ΔS：ｎ＝１：Ｎ
Ｎ＝ｎ/ΔＳ
この ｎ/ΔＳ こそが、「単位面積を垂直に貫く電気力線の本数」であって、まさにP点における電場の強さを表しているわけです。
ちなみに、点Ｐを含む面は平面でなくても構いません。小さな面積ΔSの曲面のどこでも電気力線が垂直に貫いていて、分布が一様なら。ただ、曲面の極く一部は、平面と見なせるので、極く微小な面積を考えるときには平面を想定することが多いのです。

適当な閉曲面（面積Ｓ）を考えたとき、その面のどこでも電気力線は面に垂直に延びていて、電気力線の分布も偏りが無いなら（そして、全部でＮ本なら）、
「単位面積を垂直に貫く電気力線の本数」＝Ｎ/Ｓです。
一様な電荷密度σ[C/m]を持った無限に長い直線から距離ｒ[m]の所の電場を考えるときなどは、この典型的な例です。微小面積を考えても構いませんが、規則的な電場なのでそんなものを考える必要はないのです。直線を中心軸とする、半径ｒの円筒を考えます。この円筒の側面を、電気力線はすべて垂直に貫いていて、側面のどこでも電気力線の分布は一様です。
軸方向に、L[m]の長さの円筒を考えると、この円筒の側面積は
Ｓ＝2πr・L[m^2]
です。
この側面を貫く電気力線の本数は、長さLの線分から放射状に延びているものですから
4πk・σ・L(本)
です。（kはクーロンの法則の定数です）
∴Ｅ＝4πk・σ・L/(2πr・L)
=2k・σ[N/C]

要は、電気力線の分布が均等になっている面を探しだせば良いわけです。電気力線が不規則な分布をしているなら、着目点を含む微小面を考えなくてはなりませんが、分布が規則的なら、適当な大きさの曲面を考えることもできるのです。

お礼

ご回答ありがとうございます

自分がまさにわからなかったことがわかりました！
均等であれば微小でなくても適当な大きさの曲面を用いられるんですね！
もやもやがすっきりしました！
ありがとうございました

回答No.4

sanori

こんにちは。

もちろん微小面積のことです。

何のことはない。あなたが今まで出合った物理量に、そういうのはたくさんあるはずですよ。

わかりやすいのは、「時速４０ｋｍ」だと思います。
これは、「１時間当たり４０ｋｍ」ですが、本当に１時間経過して４０ｋｍ進むということではなく、その瞬間の速さです。
微小時間に進む微小距離です。
仮にその速さのままで１時間経過したら４０ｋｍ進むということです。

照度の単位ルクスもそうです。
これも単位面積あたりの光の照射量ですが、本当に１平方メートルの面積があって、そこに降ってくる光の量の合計ではなく、微小面積に降ってくる光の量です。
仮に同じ照度のところが１平方メートルあったら、そこに降ってくる光の量の合計量になるように規格化しています。

ワットもそうです。
仮にその仕事率のまま１秒仕事をしたら、合計１ジュールになるということです。

そういうのと同じことです。

お礼

ご回答ありがとうございます

たしかに物理学は微小なものをよく扱いますね
電気力線もそのひとつでしたか
参考になりました

回答No.3

beeba

「（曲面上のある点で接する平面のその点を中心とした）単位面積・・・略・・・」
と考えればよいのではないでしょうか。
電磁気学は微積分学を基礎にしているので。

イメージするなら、風船の表面にかかる圧力みたいなもの、だと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます

やはり微分の考え方ですか
参考になりました

回答No.2

noname#175206

要は、自分が、あるいは問題設定者が都合のいい図を描く、つまり原点を取るかということなんです。

　私は自分が慣性系の観測者として都合のいい立場、すなわち、自分を原点にします。
　他の地点との関係は、古典的ならガリレイ変換、現代的ならローレンツ変換で考える、ということになりますね。

　物理学では己を虚しくする必要はありません。客観など不要、主観のみです。自分から見て、こうなっている、です。

お礼

ご回答ありがとうございます

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

これは水流と流線との関係と同じですね。
流線と垂直な微小面積で考えれば良いと思います。

それから、釈迦に説法かもしれまぜんが、
後にマックスウェルも述べてますが、
電気力線はファラデーが考え出した仮想的なもので、
電場を定義するのに電気力線は不要です。

最初に電場ありきで十分です。

お礼

ご回答ありがとうございます

例えば次のような例ではどうしたらいいでしょう
線密度ρの一様な電荷を持つ細長い棒状の帯電体がある
この棒からr離れた点での電場を求める時
一般的には半径r高さlの円柱を考えて
E=ρl/ε/2πrl=ρ/2πεr
と求めますが、これって果たして微小でしょうか？
この問題をある点での電場をある微小面積をもつ領域の
電場として解こうすると、そこを貫く電気力線の本数がわかりません
全電気力線の本数はρl/εとはわかりますが・・・
そもそも電気力線の定義で微小面積という言葉が
出てきたところを見たことがないので戸惑っています
ご教授お願いします

補足

No5の方のご回答で疑問が解けました
お礼の欄の質問は無視していただいて結構です
また機会がありましたらよろしくお願いしますm(__)m