複雑な微分

質問

y={(x-1)*(x+1)^(-1/3)*(x-2)^(-2/3)}'

これってどうやるのでしょうか。ひとつひとつやっていくのだとは思いますが、どうしても答えが合わないので教えてください。また、こういう複雑な微分をやる時のコツやテクニックはないでしょうか。(指数で計算するなど。。。)

以上ををよろしくおねがいいたします。

回答No.3

toranekosan222 · ベストアンサー

y=(x-1)*(x+1)^(-1/3)*(x-2)^(-2/3)

(x+1)^(1/3)*(x-2)^(2/3)*y=(x-1)

両辺をxで微分

1/3(x+1)^(-2/3)*(x-2)^(2/3)*y+2/3(x+1)^(1/3)*(x-2)^(-1/3)*y+(x+1)^(1/3)*(x-2)^(2/3)*y'=1

これをつかって、y'の式に直せば簡単ですよ。

(x+1)^(1/3)*(x-2)^(2/3)*y'=1-1/3*(x+1)^(-1)*(x-1)-2/3(x-2)^(-1)*(x-1)
=1-(x-1)*(1/{3(x+1)}+2/{3(x-2)})
=1-(x-1)}(x-2+2x+2)/{3(x+1)(x-2)}
=1-(x-1)*x*{(x+1)^(-1)*(x-2)^(-1)}
=(x^2-x-2-x^2+x)*(x+1)^(-1)*(x-2)^(-1)
=-2*(x+1)^(-1)*(x-2)^(-1)

y'=-2*(x+1)^(-1)*(x-2)^(-1)*(x+1)^(-1/3)*(x-2)^(-2/3)
=-2*(x+1)^(-4/3)*(X-2)^(-5/3)

回答No.4

kkkk2222

ーーー
＞＞|y|=|x^3|+|-3x|+|9|と出来るのでしょうか。
www後述
ーーー
＃１００
幸い計算ミスはなかったですが、変形不足でした。
y'= -2{(x-1)*(x+1)^(-1/3)*(x-2)^(-2/3)}/(x-1)(x+1)(x-2)
　　＃１
＝ー２【(x+1)^(-4/3)】】(X-2)^(-5/3)】
　　＃２
＝ー２／【(x+1)^(4/3)】】(X-2)^(5/3)】
さて、＃１と＃２はどちらにＭＥＲＩＴがあるか？
微分するだけなら、＃１ですが、
微分だけという問題はまずありません。
少なくとも、極値を求めるために、y'＝０の
計算が必要です。
＃１では　Ｘ＝－１、２　で　y'＝０　とみえます。
＃２を見ると　
Ｘ＝－１で傾きは＋∞、不連続、＋∞
Ｘ＝２で傾きは＋∞、不連続、ー∞
などが見えてきます。
ーーー
＃２００
＞＞両辺に絶対値を取る考え方がいまいち分かりません。
対数微分で、＜かってに＞絶対値をとります。
これが＜教育的配慮の仲間です。＞
教科書でも、充分な説明がされていません。
一見＜同値関係が崩れそうです。＞
されど、＜結果オーライで＞
＜同値関係は崩れません。＞
＜むしろ、絶対値をとらないと、完全エラーです。＞
（でも、試験でない時は、面倒だから省いて計算・・・）
これは、軌跡の問題でも同様な現象が起きます。
ーーー
余談
ちょっとテクニカル(?)な式変形
これ誤植じゃないかな？
ちょっとやって見たけど、成立・・・
ーーー
＃３００
後回しにした、質問ですが
＞＞|y|=|x^3|+|-3x|+|9|と出来るのでしょうか
ＮＯです。
＜貴殿の思い違いです。＞とだけ書きます。

重要事項は、
対数微分は、
積の形にのみ、
有効です。
ーーー
勉強大変でしょうが頑張って下さい。！
ーーー

回答No.2

kkkk2222

頑張ってますね。
対数微分を使います。
検算してないので、間違っていたら再ＲＥＳします

y={(x-1)*(x+1)^(-1/3)*(x-2)^(-2/3)}

|y|＝|(x-1)|*|(x+1)^(-1/3)|*|(x-2)^(-2/3)|

log|y|=log|(x-1)|-(1/3)log|(x+1)|-(2/3)|(x-2)|

y'/y=1/(x-1)-(1/3)/(x+1)-(2/3)/(x-2)
y'/y= -2/(x-1)(x+1)(x-2)

y'= -2{(x-1)*(x+1)^(-1/3)*(x-2)^(-2/3)}/(x-1)(x+1)(x-2)

のはずです。

補足

皆さんありがとうございます。

対数微分ですか。これを使うと簡単ですね。思いつきませんでした。あと基礎力不足で申し訳ないのですが、両辺に絶対値を取る考え方がいまいち分かりません。たとえば「y=x^3-3x+9」なら
「|y|=|x^3|+|-3x|+|9|」と出来るのでしょうか。

回答No.1

info22

a,b,cをそれぞれ(x-1),(x+1)^(-1/3),(x-2)^(-2/3)とおけば

(abc)'=a'bc+ab'c+abc'

のように微分すれば良いです。

{(x-1)*(x+1)^(-1/3)*(x-2)^(-2/3)}'
=(x+1)^(-1/3)*(x-2)^(-2/3)-(1/3)(x-1)(x+1)^(-4/3)*(x-2)^(-2/3)
-(2/3)(x-1)(x+1)^(-1/3)*(x-2)^(-5/3)
=-2(x+1)^(-4/3)*(x-2)^(-5/3)

多分、合っていると思いますが計算してみて下さい。