１問だけどうしても解けません・・・。 微分です。

質問

次の関数を微分せよと言う問題なのですが、
機械的に、他の問題はできたのですが、
この問題は、（できるのかもしれませんが）
私にはできませんでした。計算ミスをしているのかも
しれませんが、３度目の正直？で、３回やってみましたが、一致しなかったので、質問しました。

次の関数を微分せよ。

　　　√(x-1)
ｙ＝────
　　　√(x+1)

※ルート(x+1)　分の　ルート(x-1)　です。

答えは、

　 　　 　 1
ｙ'＝──────── となっています。
　　　 (x+1) √(x^2-1)

回答No.7

good777 · ベストアンサー

多分こうすると思うけど、
√(x-1)
ｙ＝────
　　　√(x+1)

u=√(x-1) ,v=√(x+1)

とおくと、
　　 1
u'＝────
　　　2√(x-1)

　　 1
v'＝────
　　　2√(x+1)

　　 u'v-uv'
ｙ'＝────
　　　 u^2

で分母の　u^2 は　u^2=(x+1)

で分子の　 u'v-uv' は

　　 √(x+1) 　　　√(x-1)
u'v-uv'＝──── -　────
　　　　　2√(x-1) 　　2√(x+1)

　 (x+1)-(x-1)
＝─────────
　　2√(x-1)√(x+1)

　　 2 　　
＝──────
　2√(x＾2-1)

　　 1 　　
＝──────
　√(x＾2-1)

　分子 　　 　 1
────＝────────
　分母　　(x+1) √(x^2-1)

どこをまちがえたのかなぁ

お礼

＞どこをまちがえたのかなぁ

そうですねぇ、ホントもう一度、この回答を見て、その後、何も見ないでやったら、できました・・・。
ほんと、どこをまちがえたのかなぁ・・・。

ありがとうございました。

回答No.9

good777

あれれ誰も回答してないので書いたのに

回答No.8

fushigichan

twinkle-lightさん、こんばんは。
これは、合成関数の微分を考えればいいですね。

y=u/v
のとき、
y'=(u'v-uv')/v^2

という公式がありますので、

y=√(x-1)/√(x+1)

において、u=√(x-1),v=√(x+1)とおくと、

dy/dx=(u'v-uv')/v^2={√(x-1)'√(x+1)-√(x-1)√(x+1)'}/(x+1)
={1/(x+1)}*{(x-1)^(1/2)'*(x+1)^(1/2)-(x-1)^(1/2)*(x+1)^(1/2)'}
={1/(x+1)}*{(x-1)^(-1/2)*(1/2)*(x+1)^(1/2)-(1/2)*(x-1)^(1/2)*(x+1)^(-1/2)}
={1/2(x+1)}*{√(x+1)/√(x-1) -√(x-1)/√(x+1)}
={1/2(x+1)}*{(x+1)-(x-1)}/√(x+1)(x-1)
=2/2(x+1)√(x^2-1)
=1/(x+1)√(x^2-1)・・・（答え）

となると思います。
落ち着いて、もう一度やってみてくださいね。

お礼

落ち着いてやってみたらできました！。

自分は、分数の関数であっても、指数法則で、全部かけ算に持って行ってやります。この方法もやったことはありましたが、忘れてました。ありがとうございました。

回答No.6

eyenes

♯３です

1/(x+1)^3/2×√(x-1) ＝1/(x+1)^√(x^2-1)
にしてください！

回答No.5

pocariblue

両辺を２乗するという方法もあります。
y^2 = 1-2(x+1)^(-1)

xで微分して、
2y・dy/dx = 2(x+1)^(-2)

この式を「dy/dx = ～」という具合に整理すれば、模範解答の値と一致します。

回答No.4

pi-ta-

えっとですね、
この方程式の微分は、
y=f/gとすると、y´=(y´g-yg´)/(g×2) (注→/は、÷)です。
だから、一応解けると思うんだけどなぁ…

回答No.3

eyenes

√(x+1)を分母にかけて、分子で√(x-1)を微分したものと√(x+1)をかけて、そこから√(x+1)を微分したものと√(x-1)をかけたものを引いて下さい。
それで微分完成です。

1/(x+1)^3/2×√(x-1)

回答No.2

xdot

y'=( (x-1)/(x+1) )^0.5'
=1/2 ( (x-1)/(x+1)^(-0.5) )*( (x-1)/(x+1) )'
=1/2 ( (x+1)/(x-1)^0.5)*((x+1)-(x-1))/((x+1)^2)
= ( (x+1)/(x-1)^0.5)/( (x+1)^2)
=( (x+1) /(x-1)(x+1)^4 )^0.5
=( 1/(x-1)(x+1)^3 )^0.5
=1/( (x+1)( (x-1)(x+1) )^0.5 )
=　解等

です。見にくいですがあってると思います。

お礼

素早い回答ありがとうございました。

回答No.1

tamagawa49

対数を使って微分すると良いと思います。
まず両辺の対数をとる。

logy=log√(x-1)-log√(x+1)
logy=1/2{log(x-1)-log(x+1)}

ここで両辺を微分すると
y'/y=1/2{1/(x-1)-1/(x+1)}
y'/y=1/(x-1)(x+1)

両辺にy（すなわち√(x-1) /√(x+1)）をかけると
y'=1/(x+1) √(x+1)(x-1)
となり
y'=1/(x+1) √(x^2-1)が導かれます。

分数の表記が苦手なのでこのような文章（式）になってしまいました。何とか解読？して下さい。

お礼

素早い回答ありがとうございました。