いたるところ微分不可能な関数“高木関数”の面積、長さ

質問

いたるところ微分不可能な関数“高木関数”というのがあります。

http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/takagi/takagi.htm

この面積と曲線の長さを求めたいのですが、教えていただけないでしょうか?

少し変形したものでもいいです。

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

面積だけ・・・
グラフとｘ軸で囲まれる部分の面積をＳとすると、fn(x)とｘ軸で囲ま
れる部分の面積は(1/2)×1×(1/2^n)なので、（∵高さが1/2^nの三角形
の集まりで、底辺を合計すると1）
Ｓ＝Σ(n=1,∞)∫(0,1)fn(x)dx＝Σ(n=1,∞)(1/2)×1×(1/2^n)＝1/2
になるでしょうか。

長さは、どのfn(x)も長さが√2なので、無限大になると思います。
無限大の長さものを有限のところに皺々にして押し込めたので、ど
この点でも微分できないという感覚だと思います。正確な証明はわ
かりません。
ちなみに、どこの点でも微分できない関数としてワイエルシュトラスの
関数というのもあります。こっちは-∞＜ｘ＜∞で定義されています。

お礼

ありがとうございました。